Forschungsschwerpunkte

Nichtlineare partielle Differentialgleichungen werden mit Methoden der Evolutionsgleichungen und der Harmonischen Analysis untersucht. Von besonderem Interesse sind die fundamentalen Gleichungen der Fluiddynamik, geophysikalische Gleichungen, nematische Flüssigkristalle, komplexe Fluide, Fluid-Struktur-Interaktion und freie Randwertprobleme.

Gleichungen der Fluiddynamik werden auch mittels konvexer Integration untersucht, einer Methode, welche für Nichteindeutigkeitsresultate turbulenter Flüsse zentral ist.

Wichtig ist ferner auch das Zusammenspiel mit verwandten Methoden der geometrischen Analysis, der Interpolationstheorie, der periodischen Lösungen und der stochastischen PDEs zur Behandlung von zum Beispiel stochastischen oder auch nichtlokalen Randwertproblemen.

M. Hieber , S. Modena

DFG Forschungsgruppe

Die DFG Forschungsgruppe: Mathematische Untersuchungen zu Geophysikalischen-Fluid-Modellen: Analysis und Numerik wurde 2023 bewilligt.

Schwerpunkt ist die mathematische Modellierung und computergestützte Analyse komplexer Strömungsprobleme, insbesondere Zweiphasenströmungen mit Transportvorgängen an Grenzflächen und dynamische Benetzungsphänomene.

Diese Forschungen basieren auf thermodynamisch konsistenter Modellierung unter Weiterentwicklung von Sharp-Interface- sowie Diffuse-Interface-Modellen mit zusätzlichen physikalisch-chemischen Eigenschaften der Grenzflächen. Für ein grundlegendes Verständnis der Transport- und Transferprozesse werden direkte numerische Simulationen eingesetzt und dazu komplementäre numerische Methoden wie Volume-of-Fluid, Interface Tracking, kombiniertes Level Set / Front Tracking sowie Phasenfeldmethoden weiterentwickelt.

D. Bothe , H. Marschall

Wir entwickeln neue Methoden in den Bereichen harmonische Analysis, Operatortheorie und geometrischer Maßtheorie, um partielle Differentialgleichungen unter minimalen Regularitätsanforderungen zu untersuchen.

Von besonderem Interesse sind elliptische und parabolische Randwertprobleme, der Funktionalkalkül der zugehörigen Cauchy–Riemann Operatoren, und Regularitätsabschätzungen im Dunstkreis des Kato Problems. Letztere sind auch der Schlüssel zur Behandlung quasilinearer Gleichungen mit gemischten Randbedingungen in Distributionenräumen mittels Methoden der maximalen parabolischen Regularität (siehe auch Angewandte Analysis).

M. Egert , R. Haller

Konvexe Integration ist eine Methode für die Konstruktion “seltsamer” Lösungen zu einigen nichtlinearen Systemen partieller Differentialgleichungen, die Ihren Ursprung in Arbeiten von John Nash (1954) zu isometrischen Einbettungen hat und im Laufe der Zeit zu einer allgemeinen Methode zur Behandlung von Problemen in Differentialgeometrie und Variationsrechnung weiterentwickelt wurde.

In den letzten Jahren wurden neue Varianten konvexer Integration entwickelt, die sich vor allem in der mathematischen Fluiddynamik anwenden lassen und ein grundlegendes Werkzeug zur Behandlung von Gleichungen in Klassen geringer Integrabilität oder Regularität darstellen.

S. Modena

Beim Diskretisieren von Integralgleichungen entstehen Folgen von Näherungsoperatoren, die sich als Elemente von geeigneten C*-Algebren auffassen lassen. Ziele sind zum einen die Benutzung von C*-algebraischen Techniken zur Untersuchung von numerischen Eigenschaften wie der Stabilität des Verfahrens, zum anderen die Beschreibung der Struktur der entstehenden Algebren.

S. Roch

Chemotaxis ist in vielen biologischen Prozessen wichtig, die Zellmigration beinhalten. Für verschiedene Typen von Chemotaxis-Systemen untersuchen wir das qualitative Verhalten der Lösungen. Insbesondere befassen wir uns mit globaler Existenz, Blow-up, Langzeitverhalten und periodischen Lösungen.

C. Stinner