In vielen Anwendungen sind Anfangsdaten oder Parameter in partiellen Differentialgleichungen nicht präzise bekannt. Es gibt verschiedene Arten mit dieser Unsicherheit umzugehen:
Falls die Wahrscheinlichkeitsverteilung der unbekannten Daten bekannt ist, untersuchen wir, wie sich der Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung auf diese Verteilung auswirkt. Zu diesem Zweck entwickeln wir effiziente numerische Verfahren, die auf intrusiven (z.B. stochastisches Galerkin Verfahren) oder nicht-intrusiven Ansätzen (z.B. stochastische Kollokation) basieren und leiten Fehlerabschätzungen für die Verfahren her.
Ein anderes Szenario ist, dass Messdaten des Systemzustands (z.B. Werte der Lösung der partiellen Differentialgleichung an bestimmten Punkten) bekannt sind. In diesem Fall können Methoden der Datenassimilierung benutzt werden, die Messdaten und Simulationen geeigneter Modelle verbinden, um zuverlässige Schätzungen des Systemzustands zu erhalten. Wir verwenden hier sogenannte Beobachter. Dies sind Modifikationen der ursprünglichen Gleichung, in die die Messdaten über Quellterme oder Randbedingungen eingespeist werden. Eines unserer Ziele ist, zu zeigen, dass der Zustand des Beobachtersystems für lange Zeiten gegen den Zustand des Orginalsystems konvergiert.
