In vielen Anwendungen können die betrachteten Prozesse durch unterschiedlich detaillierte Modelle beschrieben werden. Beispielsweise kann der Transport von Gas in Pipelines durch isotherme oder nicht-isotherme Modelle beschrieben werden. Abhängig vom betrachteten Szenario können vereinfachte Modelle geeignet sein; dies ist aber oft schwer vorherzusagen. Daher entwickeln wir Lösungsverfahren, die adaptiv, abhängig von der berechneten Lösung, das Modell wählen. Unsere Verfahren basieren auf Modellfehlerschätzern, also Schranken für die Differenz der Lösungen unterschiedlicher Modelle, die aus der numerischen Lösung berechnet werden können. Diese Fehlerschätzer können, je nach Kontext, mittels dual gewichteter Residuen oder relativer Energie Abschätzungen hergeleitet werden.
Modellreduktion erlaubt es in Anwendungen, bei denen eine parametrisierte partielle Differentialgleichung mehrfach für verschiedene Parameterwerte gelöst werden muss, die Rechenkosten zu reduzieren. Daher wird sie häufig im Zusammenhang mit optimaler Steuerung oder Quantifizierung von Unsicherheit verwendet. Snapshop basierte Methoden der Modellreduktion verwenden repräsentative ‘snapshots’ der Lösungen. Diese müssen im Voraus berechnet werden und können raumadaptiv sein, d.h. auf verschiedenen räumlichen Gittern berechnet werden. Die Lösung des reduzierten Modells wird dann als Linearkombination solcher Schnappschüsse dargestellt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination können mit einer Galerkin-Projektion bestimmt werden, die auf einer schwachen Formulierung der Gleichungen basiert. Dadurch erbt das reduzierte Modell Eigenschaften, wie die räumliche Struktur typischer Lösungen als auch zugrundeliegende physikalische Eigenschaften.
