Hyperbolische Erhaltungsgleichungen, kompressible Fluide

Systeme Hyperbolischer Erhaltungsgleichungen treten in vielen Bereichen der Kontinuumsmechanik auf, wenn dissipative Effekte (z.B. Reibung und Viskosität) vernachlässigt werden. Das bekannteste Beispiel sind die kompressiblen Euler-Gleichungen in der Strömungsmechanik. Im Kontext hyperbolischer Erhaltungsgleichungen gibt es viele offene mathematische Fragen: Im allgemeinen existieren starke Lösungen nur für kurze Zeiten und schwache (Entropie-)Lösungen sind nicht eindeutig (für Systeme in mehr als einer Raumdimension). Diese Uneindeutigkeit hängt vermutlich mit der Entstehung von Turbulenz zusammen und hat zur Entwicklung neuer Lösungskonzepte für Euler- und Navier-Stokes Gleichungen geführt. Wir haben in diesem Kontext a priori Fehlerabschätzungen für skalare Gleichungen auf Mannigfaltigkeiten und a posteriori Fehlerabschätzungen für Diskretisierungs- und Modellfehler hergeleitet.

Ein Teil der Forschung auf diesem Gebiet wird durch ein Schwerpunktprogramm der DFG gefördert: Link zum Schwerpunktprogramm

  • Domschke, Kolb, Lang: Fast and Reliable Transient Simulation and Continuous Optimization of Large-Scale Gas Networks, Math. Meth. Oper. Res. (2022)
  • Egger, Giesselmann, Kunkel, Philippi: An asymptotic preserving discretization scheme for gas transport in pipe networks, IMA J. Numer. Anal. (2022)
  • Giesselmann, Krupa: Theory of shifts, shocks, and the intimate connections to L2-type a posteriori error analysis of numerical schemes for hyperbolic problems, Math. Comp. (2024)
  • Lang, Mindt: Entropy-Preserving Coupling Conditions for One-dimensional Euler Systems at Junctions, Netw. Heterog. Media (2018)
  • A posteriori error estimates for convection-diffusion equations (Giesselmann)