Wir betrachten gitterbasierte Verfahren zur Lösung linearer und nicht-linearer partieller Differentialgleichungen, zum Beispiel stetige Finite Elemente und Discontinuous Galerkin Verfahren. Ein zentrales Ziel unserer Untersuchungen sind a priori Abschätzungen für den Fehler, also die Differenz zwischen exakter und numerischer Lösung. Solche Abschätzungen stellen die Konvergenz numerischer Verfahren sicher, falls die exakte Lösung regulär genug ist. Diese Abschätzungen basieren auf Stabilitätseigenschaften der numerischen Verfahren und Approximationseigenschaften der verwendeten diskreten Räume. Diese grundlegenden Prinzipien sind dabei universell, auch wenn sie in den unterschiedlichen partiellen Differentialgleichungen unterschiedliche Formen annehmen. Beispielsweise basiert die Stabilität von Verfahren für inkompressible Strömungen auf der inf-sup Stabilität, während sie für kompressible Strömungen auf relativen Energie Abschätzungen fußt.
Zudem befassen wir uns mit der Entwicklung und Analyse von Zeitintegratoren zur Lösung großer Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen, die z.B. aus Semidiskretisierungen von PDEs entstehen. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Konstruktion von Methoden höherer Ordnung, die für Probleme mit unterschiedlichen Zeitskalen und für optimale Kontrollprobleme mit gewöhnliche Differentialgleichungen als Nebenbedingungen geeignet sind.
