Verbundprojekte des Fachbereichs

Laufende Projekte am Fachbereich

Strukturelle Fragen in der Geometrie und Arithmetik will der SFB/TRR „Geometrie und Arithmetik uniformisierter Strukturen (GAUS)“ beantworten. Grundgedanke der Uniformisierung ist es, komplizierte geometrische Objekte durch einfachere zu ersetzen, ohne die lokale Struktur zu verändern. Die ursprüngliche mathematische Komplexität wird dabei in einer geeigneten Symmetriegruppe kodiert. Uniformisierung ermöglicht also eine Übersetzung von Komplexität in eine andere „Sprache“ und eröffnet neue Perspektiven auf die ursprünglichen mathematischen Objekte. Diese will der Verbund nutzen, um die Geometrie und Arithmetik algebraischer Varietäten zu untersuchen. Die Forscherinnen und Forscher suchen hierbei nach grundsätzlichen Zusammenhängen, etwa zu Modulräumen, automorphen Formen, Galoisdarstellungen und kohomologischen Strukturen.

Teilprojektleiter am Fachbereich: Jan Bruinier, Yingkun Li, Timo Richarz, Nils Scheithauer, Torsten Wedhorn

Laufzeit: 07/2021-06/2025

Webseite: TRR 326

Die Energiewende und ihr Gelingen sind derzeit im Mittelpunkt des öffentlichen Interesses. Sie ist gesellschaftlich, politisch sowie wissenschaftlich von zentraler Bedeutung, da sich Deutschland, wie viele andere Industrienationen, in einer dramatisch zunehmenden Abhängigkeit von einer zuverlässigen, sicheren, effizienten und finanzierbaren Energieversorgung befindet. Gleichzeitig ist das Verlangen nach einer sauberen, umwelt- und klimafreundlichen Energieerzeugung so groß wie nie. Um dies zu ermöglichen und parallel den Ausstieg aus der Kernenergie zu bewältigen, spielt Gas als Energieträger in den nächsten Jahrzehnten eine entscheidende Rolle. Gas ist in diesem Zeitraum ausreichend vorhanden, ist schnell verfügbar, wird gehandelt und ist speicherbar. Gleichwohl impliziert die Fokussierung auf eine effiziente Gasversorgung eine Vielzahl von Problemen, sowohl in Bezug auf den Transport und die Netztechnik, als auch was die Berücksichtigung marktregulatorischer Bedingungen und die Kopplung mit anderen Energieträgern betrifft. Exemplarisch sei hier genannt, dass Gastransporteure den Nachweis führen müssen, dass innerhalb gegebener technischer Kapazitäten alle am Markt zustande kommenden Verträge physikalisch und technisch erfüllbar sind. Ziel des TRR 154 ist es, Antworten auf diese Herausforderungen mit Mitteln der mathematischen Modellierung, Simulation und Optimierung zu geben und damit Lösungen auf einem neuen Qualitätsstandard anzubieten. Um dies zu erreichen, sind innerhalb der Mathematik neue Erkenntnisse in unterschiedlichen Gebieten, wie der mathematischen Modellierung, der numerischen Analysis und Simulation sowie der ganzzahligen, kontinuierlichen und stochastischen Optimierung notwendig. Genannt seien hier exemplarisch die Modellierung und Analysis von komplexen Netzwerken hyperbolischer Bilanzgleichungen unter Berücksichtigung von Schalten, die Entwicklung einer gemischt-ganzzahligen Optimierungstheorie und deren algorithmische Umsetzung für derartige Netzwerke und die effiziente hierarchische numerische Approximation der entstehenden, algebraisch gekoppelten PDEs inklusive Fehlersteuerung im Zusammenhang mit gemischt-ganzzahligen Optimierungsverfahren.

Am TRR 154 sind außer der TU Darmstadt die Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (Sprecherhochschule), die HU Berlin, die TU Berlin, die Universität Duisburg-Essen und das Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS) beteiligt. Am SFB/Transregio sind auf Darmstädter Seite aus der Mathematik Frau Dr. Domschke und die Professoren Disser, Egger, Giesselmann, Lang, Pfetsch und Ulbrich beteiligt.

Stellvertretender Sprecher: Stefan Ulbrich

Laufzeit: 07/2018-06/2022 (zweite Förderperiode)

TRR 154 Homepage.

Multiskalenmodellierung ist ein zentrales Thema in der theoretischen kondensierten Materie und in den Materialwissenschaften. Eine wichtige Klasse von Materialien, deren Eigenschaften von Phänomenen auf vielen Längen- und Zeitskalen bestimmt sind, ist weiche Materie. Die Eigenschaften weicher Materialien werden durch ein subtiles Wechselspiel von Energie und Entropie bestimmt, und winzige Änderungen der molekularen Wechselwirkungen können große Änderungen der makroskopischen Eigenschaften eines Systems nach sich ziehen.

In unserem seit Oktober 2014 von der deutschen Forschungsgemeinschaft geförderten Sonderforschungsbereich (SFB TRR 146) sollen einige der drängendsten Probleme in der Multiskalenmodellierung in einer gemeinsamen Anstrengung von Physikern, Chemikern, angewandten Mathematikern und Informatikern angegangen werden. Im Fokus stehen drei zentrale Herausforderungen:

  1. Dynamik: Multiskalen-Ansätze wurden in der Vergangenheit häufig für statische Gleichgewichtssituationen entwickelt. Ein grundlegendes Verständnis der dynamischen Eigenschaften eines vergröberten Modells ist jedoch notwendig, will man Multiskalenkonzepte auch auf Transport und Nichtgleichgewichtsprozesse anwenden.
  2. Vergröberung und gemischte Auflösung: Häufig müssen ausgewählte kleine Bereiche in einem Material mit hoher Auflösung behandelt werden, während im Volumen eine vergröberte Modellierung ausreichend ist. Idealerweise sollten hochaufgelöste und vergröberte Regionen dynamisch festgelegt werden können, abhängig vom aktuellen Zustand eines Systems. In diesem Zusammenhang müssen auch fundamentale Aspekte des Vergröberns aus mathematischer Sicht neu analysiert werden.
  3. Das Verbinden von Teilchen und Kontinuum: Bis dato existieren wenige Ansätze, die teilchenbasierte und Kontinuums-Beschreibungen von weicher Materie in nichttrivialer Weise verknüpfen. Multiskalenmethoden für teilchenbasierte Modelle wurden in der Regel von Physikern und Chemikern entwickelt, Kontinuumsmodelle mit variabler Auflösung von angewandten Mathematikern. In dem Transregio-SFB sollen diese beiden Gruppen zusammengebracht werden, um das Feld als Ganzes voranzutreiben.

Die Behandlung dieser Probleme erfordert eine große interdisziplinäre Anstrengung, sowohl in der Grundlagenforschung als auch auf algorithmischer Seite. Der SFB bringt Wissenschaftler mit vielfältiger und komplementärer Modellierungsexpertise zusammen. Unser Ziel ist es, durch die Entwicklung neuer Simulations- und Analysetechniken in den Projektbereichen (A-C) den Weg zu ebnen für Simulationen von „realen Systemen“, die von komplexen Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichts-Prozessen in komplexen (weichen) Materialien bestimmt sind.

Am SFB/Transregio ist aus unserem Fachbereich Herr Egger mit einem Teilprojekt beteiligt.

Laufzeit: 07/2018-06/2022 (zweite Förderperiode)

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Der Sonderforschungsbereich 1194 ist ein Zusammenschluss von Forschern der TU Darmstadt und des Max-Planck-Instituts für Polymerforschung Mainz. Ziel ist es, die Wechselwirkungen zwischen Be-/Entnetzung und Transportprozessen grundlegend zu untersuchen – insbesondere dann, wenn parallel zum Impuls- auch Wärme- bzw. Stofftransportvorgänge auftreten sowie wenn komplexe Fluide oder komplexe Oberflächen Verwendung finden.

Was passiert beim Drucken und Beschichten von Oberflächen mit unterschiedlichen Flüssigkeiten? Welche Prozesse laufen ab, wenn Flüssigkeit auf einen Festkörper trifft? Wie hängt dann die Be- und Entnetzung von den wechselseitigen, lokalen Impuls-, Wärme- und Stofftransportvorgängen ab? Die grundlegenden Mechanismen der wechselseitigen Beeinflussung dieser Vorgänge sind bislang größtenteils unverstanden. Obwohl sich die physikalischen Phänomene nur im Bereich einiger Nano- bis weniger Mikrometer abspielen, bestimmen sie die Effizienz der Gesamtprozesse sowie die resultierende Produktqualität.

Im Fokus unserer Forschung stehen vor allem Wechselwirkungen zwischen Benetzung und Transportprozessen, wenn parallel zum Impuls- auch Wärme- bzw. Stofftransportvorgänge auftreten und wenn komplexe Fluide (z.B. Suspensionen oder Gemische) und/oder komplexe Oberflächen (z.B. raue oder poröse) Verwendung finden.

Grundlegende Vorgänge und Phänomene werden auf den sehr verschiedenen, relevanten Längenskalen (Nano-Mikro-Makro) beleuchtet sowie eine Brücke zwischen den Grundlagen und den Anwendungen geschlagen.

Der SFB umfasst drei Teilprojektbereiche:

(A) Generische Experimente

(B) Modellierung und numerische Simulation

(C) Neue und verbesserte Anwendungen

Als wichtige integrative Klammern und für die gemeinsame Fokussierung wurden zwei generische Leitkonfigurationen definiert (Eintauchkörper, Tropfen) sowie OpenFOAM als gemeinsame Softwareplattform ausgewählt.

Stellvertretender Sprecher: Dieter Bothe

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Der neue LOEWE-Schwerpunkt „Uniformisierte Strukturen in Arithmetik und Geometrie“ hat das Ziel, die breite Expertise der TU Darmstadt und der GU Frankfurt auf den Gebieten der Zahlentheorie und der arithmetischen/algebraischen Geometrie zu bündeln.

Das gemeinsame Forschungsprogramm fokussiert dabei auf die drei folgenden Forschungsgebiete:

A. Spezielle Untervarietäten

B. Automorphe Formen

C. Variation der Geometrie

Im Themenkomplex A werden Orthogonale Shimura-Varietäten und die Kudla-Vermutung untersucht, im Themenkomplex B werden Borcherds-Produkte und Vertex-Algebren erforscht, und der Themenkomplex C hat die Uniformisierung sphärischer Varietäten, die Anabelsche Schnittvermutung sowie Tropische Modulräume zum Gegenstand.

Die Forschungsgebiete A, B und C sind eng miteinander verwoben, und Techniken der Uniformisierung spielen eine zentrale Rolle in den gemeinsamen Forschungsvorhaben.

Koordinator: Jan Hendrik Bruinier

Laufzeit: 2018-2022

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Eisen hat enormes Potential für die Energiewende. Im Projekt Clean Circles erforschen wir fächerübergreifend, wie das Metall zusammen mit seinen Oxiden in einem Kreislauf als kohlenstofffreier chemischer Energieträger genutzt werden kann, um Wind- und Sonnenergie zu speichern.

Der wissenschaftliche Kern von Clean Circles ist ein innovativer Energie-Stoff-Kreislauf als zentraler Baustein der Energiewende. Elektrische Energie aus erneuerbaren Quellen wird in Eisen chemisch mit hoher Energiedichte eingespeichert und somit lager- und transportfähig gemacht. Dies kann entweder durch elektrochemische Reduktion direkt oder durch thermochemische Reduktion mit grünem Elektrolysewasserstoff geschehen. Über die thermochemische Oxidation bei hohen Temperaturen wird die chemische Energie am Nutzungsort bei hohen Leistungsdichten ausgespeichert und in regelbaren thermischen Kraftwerken rückverstromt. Eisen ist ein kohlenstofffreier Energieträger. Daher wird bei der Ausspeicherung kein Kohlenstoffdioxid (CO2) als Treibhausgas emittiert. Eisen kann über lange Zeiträume gelagert werden. Damit ermöglicht Eisen als chemischer Energieträger eine Sicherstellung der Versorgung durch regelbare Kraftwerkskapazitäten.

Beteiligte Teilprojektleiter am Fachbereich Mathematik: Dieter Bothe, Marc Pfetsch, Stefan Ulbrich

Laufzeit: 2021-2025 durch die Hessische Cluster Initiative

Clean Circles Homepage.

Im Rahmen der Exzellenzinitiative des Bundes hat die DFG der TU Darmstadt im Jahr 2007 eine Graduiertenschule zum Thema Computational Engineering – Beyond Traditional Sciences erstmals bewilligt, im Juni 2012 wurde die Förderung um weitere 5 Jahre verlängert. Danach wurde die Graduiertenschule in das Center of Computational Engineering integriert. Als Principal Investigators aus der Mathematik sind die Professoren Aurzada, Bothe, Disser, Egger, Lang, Pfetsch, Ulbrich und Wollner beteiligt.

Die Forschungsschwerpunkte der Graduiertenschule sind die Modellierung und Simulation gekoppelter multi-physikalischer Probleme, die simulationsbasierte Optimierung, die hierarchische mehrskalige Modellierung und Simulation sowie die Lebenszyklusforschung mit CE Methoden. Die Forschungsanstrengungen in diesen Gebieten werden durch entsprechende Entwicklungen in den Querschnittsbereichen Visualisierung, simulierte Realität, Hochleistungsrechnen, Validierung, Software Engineering und Lebenszyklusforschung begleitet.

Die Homepage der Graduiertenschule findet sich hier.

Im Rahmen der Exzellenzinitiative des Bundes hat die DFG der TU Darmstadt im Jahr 2012 eine Graduiertenschule zum Thema Energiewissenschaft und Energietechnik bewilligt. Daran sind als Principal Investigators aus der Mathematik die Professoren Lang und Ulbrich beteiligt.

Das Ziel der Darmstädter Graduiertenschule für Energiewissenschaft und Energietechnik ist die Ausbildung der Energie-Ingenieure von morgen in einem multidisziplinären Kompetenzbereich, der es ermöglicht, die anspruchsvollen wissenschaftlichen, technischen, ökonomischen und sozialen Herausforderungen in einem interdisziplinären Ansatz zu meistern. Die Hauptaufgabe ist der nachhaltige Übergang von fossilen, nicht erneuerbaren primären Energiequellen von heute hin zu erneuerbaren und umweltfreundlichen Energieressourcen von morgen. Die optimale Strategie ist zum einen die Verbesserung konventioneller Energietechnologien und sie zunehmend effizienter zu gestalten, um den hohen Anforderungen an Schadstoffemissionen gerecht zu werden, bei zum anderen gleichzeitiger Entwicklung innovativer, fortschrittlicher Technologien für erneuerbare Energien. Diese müssen zu einem konkurrenzfähigen technologischen Bereitschaftslevel entwickelt werden und sichere, verlässliche und kosteneffiziente Lösungen schaffen.

Die Homepage der Graduiertenschule findet sich hier.

In diesem Projekt geht es darum, beweistheoretische Verfahren aus der Logik zur Extraktion neuer Daten (wie z.B. effektiver Schranken, „proof mining“) aus prima facie inkonstruktiven Beweisen im Bereich der konvexen Optimierung (und angrenzender Gebiete) einzusetzen. Solche Verfahren, geeignete Formen sogenannter Beweisinterpretationen, wurden vom Antragsteller in den vergangenen Jahrzehnten entwickelt und erfolgreich in der Approximationstheorie, Ergodentheorie, Fixpunkttheorie und der Theorie abstrakter Cauchy-Probleme eingesetzt. In den letzten 2-3 Jahren haben wir zudem erstmals mit Anwendungen im Bereich der konvexen Optimierung begonnen. In dem vorliegenden Projekt soll diese logik-basierte Methodologie nun systematisch auf Probleme aus der konvexen Optimierung zugeschnitten und zur Analyse von Konvergenzbeweisen von in der konvexen Optimierung zentralen iterativen Verfahren eingesetzt werden. Ziel ist dabei insbesondere die Gewinnung expliziter und effektiver Raten asymptotischer Regularität, Metastabilität (im Sinne von T. Tao) und Konvergenz solcher Verfahren, aber auch die Verallgemeinerung auf andere Banachräume als Hilberträume und metrische Strukturen wie z.B. CAT(0)-Räume. Insbesondere analysieren wir Konvergenzbeweise, die Tatsachen aus der abstrakten Theorie mengenwertiger Operatoren (z.B. maximal-monotoner Operatoren) verwenden.

Azyklizitätskriterien spielen in vielen Bereichen der algorithmischen Modelltheorie und der Logik in der Informatik eine Rolle. Azyklizität erweist sich als nützlich für die Komplexität algorithmischer Probleme wie für die modelltheoretische Analyse. Oft können ideale Azyklizitätsbedingungen durch Abwicklungs- und Überlagerungskonstruktionen erreicht werden; typische Konstruktionen (wie Baumabwicklungen) stehen aber i.d.R. nicht zur Verfügung wenn man sich aufgrund der Problemstellung auf endliche Strukturen beschränken muss. Hier werden qualitativ und quantitativ eingeschränkte Approximationen wichtig und es geht darum

  • (i) geeignete approximative Azyklizitätsbegriffe zu isolieren, die entsprechende endliche Überlagerungs- oder Abwicklungskonstruktionen erlauben, und
  • (ii) Methoden zu gewinnen, die gute algorithmische oder logische Eigenschaften bei solchermaßen kontrollierter Azyklizität verfügbar machen.

Neue Konstruktionsmethoden, neue Techniken zur Analyse und neue Anwendungsbereiche sollen in einem weiteren Kontext systematisch erforscht und entwickelt werden.

Das Projekt untersucht die Darstellungstheorie reduktiver algebraischer Gruppen im Zusammenhang mit der Berechnung von Charakterformeln für einfache und unzerlegbare Kippmoduln. Wir erforschen neue Perspektiven, die von der Geometrie und der Kategorisierung geboten werden und über die bereits entwickelten Techniken hinausgehen. Der wichtigste geometrische Beitrag wird die Entwicklung einer modularen verzweigten geometrischen Satake-Äquivalenz sein. Wir erwarten insbesondere Anwendungen bei der Untersuchung von Kippmodulen, zum Beispiel ihr Verhalten bei der Einschränkung auf reduktive Untergruppen und ihre multiplikativen Eigenschaften.

Laufzeit: 2021-2026

Webseite

Projektbeteiligte:

Simon Riche (PI), Université Clermont Auvergne;

Timo Richarz (Partner), TU Darmstadt.

Das Projekt EXPRESS wird im Rahmen des Schwerpunktprogramms „Compressed Sensing in Information Processing“ (CoSIP) gefördert.

Im EXPRESS-Projekt untersuchen wir das Compressed Sensing (CS) Problem in der Gegenwart von Seiteninformationen und zusätzlichen Nebenbedingungen. Diese Seiteninformationen und Nebenbedingungen beruhen auf einer speziellen Struktur im Systemmodell und können auf die Struktur des Messsystems oder der Sensing-Matrix (Shift-Invarianz, Struktur der Subarrays, u.s.w.), die Struktur der Wellenformen (endliches Alphabet, Box-Restriktionen, Einschränkungen der Konstellation wie konstanter Betrag oder Non-Circularity, u.s.w.), die Sparsity Struktur der Signale (Block- oder Gruppen-Sparsity, Rang-Sparsity, u.s.w.) oder des Kanals, sowie die Struktur der Messungen (Quantisierungseffekte, K-Bit Quantisierung, Betragsmessungen, u.s.w.) zurückgeführt werden. Wir werden untersuchen, in welchem Sinne Strukturinformationen in das CS Problem eingebracht werden können und wie sie bestehende Algorithmen und theoretischen Ergebnisse beeinflussen. Basierend auf dieser Analyse werden wir neue Algorithmen und theoretischen Ergebnisse entwickeln, die besonders für diese Modelle geeignet sind. Es wird erwartet, dass die Nutzung der Struktur im Messsystem, d.h. der Abtastmatrix, auf schnelle CS-Algorithmen mit neuartigen Modellidentifizierbarkeitsbedingungen und zu perfekten Rekonstruktionsergebnissen führen kann. In diesem Sinne können wir durch die Nutzung der Struktur in den beobachteten Signalformen und der Sparsity-Struktur der Signaldarstellung CS-Algorithmen mit reduzierter Komplexität, vereinfachten Rekonstruktionsbedingungen und verbesserten Konvergenzeigenschaften entwerfen. Auf der anderen Seite erwarten wir, dass quantisierte Messungen, die von großer Bedeutung sind, wenn man kosteneffiziente Hardware und verteilte Messsysteme berücksichtigt, in der Regel zu einem Verlust von Informationen führen, für den neuen Algorithmen und perfekte Rekonstruktionsbedingungen hergeleitet werden müssen.

Als eine Anwendung betrachten wir in diesem Projekt die gemeinsame (verteilte) mehrdimensionale räumliche Spektralschätzung, d.h. Sensing entlang der Frequenz-, Zeit- und Raum-Achsen über ein Netzwerk von Mehrantennensystemen. Abhängig vom berücksichtigten Signalmodell, kann die Frequenz-, Zeit- und Ortsabhängigkeit der Messungen auf verschiedene Weise entstehen. Zum Beispiel können die interessierenden Sensing-Parameter die Einfallsrichtungen, Trägerfrequenzen und Dopplerverschiebungen beinhalten. Das EXPRESS Projekt wird die zugrundeliegenden Sparsity-Eigenschaften des Signalmodells für diese Anwendung unter Einbeziehung der oben genannten unterschiedlichen Arten von Seiteninformation ausnutzen.

Laufzeit: 2015-2021

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Projekte mit PIs aus dem Fachbereich:

EXPRESS: Exploiting structure in compressed sensing using side constraints

The short and mid-term goals of the DFG-PP consist in establishing a theoretical and numerical foundation as well as in developing new algorithmic paradigms for the treatment of non-smooth phenomena and associated parameter influences. Long-term goals involve the realization and further advance of these concepts in the context of robust and hierarchical optimization, partial differential games, and nonlinear partial differential complementarity problems as well as the validation in the context of complex applications. This DFG-PP is motivated by important applications and very recent advances in theory and numerics for non-smooth distributed parameter systems (such as semi-smoothness in function space) and their optimization as well as the beginning of the blending of such non-smooth systems with problems requiring robust solutions. Rooted in applied mathematics, the DFG-PP has an interdisciplinary outreach as its results will benefit computational scientists and engineers, who face challenging applications involving non-smooth components. Structurally, on the one hand, the DFG-PP requires basic research in single projects, while for the synthesis and fostering of ideas and techniques the networking of research groups is needed. Moreover, clustering the research projects around prototypical applications is important to achieve landmark results and to succeed in addressing challenging applications.

Funding: 2016-2023

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Projects with PIs from the department:

Optimizing Fracture Propagation using a Phase-Field Approach
Optimization methods for mathematical programs with equilibrium constraints in function spaces based on adaptive error control and reduced order or low rank tensor approximations

The main objective of this Priority Programme is the development of modern non-conventional discretisation methods, based on e.g. mixed (Galerkin or least-squares) finite element or discontinuous Galerkin formulations, including the mathematical analysis for geometrically as well as physically non-linear problems in the fields of e.g. incompressibility, anisotropies and discontinuities (cracks, contact). Our goal is to pool the expertise of mechanics and mathematics in Germany and to create new and strengthen existing networks. In the framework of this cooperation the experiences should be exchanged in between the different working groups to create synergies, save time and costs and raise the efficiency. Furthermore, it is intended to lead this research union to international excellence in the field of non-conventional discretisation techniques.In detail the Priority Programme will drive research towards the following directions concerning non-conventional finite element formulations:

  • deep mathematical understanding of the structural requirements of reliable non-conforming finite element method (FEM) approaches for finite deformations,
  • mathematically sound variational formulations,
  • robust and stiffening-free discretisations at finite deformations for (quasi-)incompressible, isotropic and anisotropic material behaviour as well as for domains with oscillating coefficients,
  • accurate approximation of all process variables in the latter mentioned extremal cases,
  • insensitive behaviour concerning significant mesh deformation,
  • convergence of adaptive mesh refinement,and discontinuities:
  • creation of a variational basis as well as suitable discretisation techniques for discontinuities: convergence, stability and approximation properties,
  • resolution of discontinuities based on isogeometric formulations,
  • novel crack growth and crack branching models,
  • contact formulations based on non-conventional discretisation techniques exceeding Mortar-methods.

Funding: 2017-2021

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Project with PIs from the department:

Structure Preserving Adaptive Enriched Galerkin Methods for Pressure-Driven 3D Fracture Phase-Field Models

The DFG-priority programme 2026 ''Geometry at infinity'' combines research in differential geometry, geometric topology, and global analysis. Crossing and transcending the frontiers of these disciplines it is concerned with convergence and limits in geometric-topological settings and with asymptotic properties of objects of infinite size. The overall theme can roughly be divided into the three cross-sectional topics convergence, compactifications, and rigidity.

Examples of convergence arise in Gromov-Hausdorff limits and geometric evolution equations. The behaviour of geometric, topological and analytic invariants under limits is of fundamental interest. Often limit spaces are non-smooth so that it is desirable to generalize notions like curvature or spectral invariants appropriately. Limits can also be used to construct asymptotic invariants in geometry and topology such as simplicial volume or L^2-invariants. Compactifications reflect asymptotic properties of geometric objects under suitable curvature conditions.

Methods from topology, differential geometry, operator algebras and probability play a role in this study. Important issues are boundary value problems for Laplace or Dirac type operators, both in the Riemannian and Lorentzian setting, as well as spectral geometry and Brownian motion on non-compact manifolds. Besides continuous deformations rigidity is essential for many classification problems in geometry and topology. It appears in geometric contexts, typically in the presence of negative curvature, and in topological and even algebraic settings. Rigidity also underlies isomorphism conjectures relating analytic, geometric and homological invariants of infinite groups and more general coarse spaces. The priority programme supports individual research projects and coordinated research activities.

Funding: 2017-2020 and 2020-2023.

The coordinator of the SPP 2026 is Prof. Dr. Bernhard Hanke from the Universität Augsburg.

SPP Homepage

Project with PIs from the department:

Asymptotics of singularties and deformations (Elena Mäder-Baumdicker)

Ausgelaufene Projekte

The DFG Research Unit 1920 „Symmetry, Geometry and Arithmetic“ examines current issues in modern arithmetic. An important and key theme is the investigation of absolute Galois groups and their generalisations. These elegantly code arithmetic information which can be extracted through the study of these groups and their representations. The researchers, who are based in Heidelberg and Darmstadt, are hoping that by dovetailing motivic homotopy theory, deformation theory, Iwasawa theory, the theory of automorphic forms and L-functions, they will be able to draw interesting conclusions from new insight into one of these areas which they can apply to the others, in a contemporary vision and modern understanding of basic mathematical research.

As a principal investigator Jan Bruinier is part of this research unit with a project centered around special cycles on the moduli space of abelian surfaces and their connections with L-functions. The spokesperson is Alexander Schmidt from the Universität Heidelberg.

Funding: 2013-2020

Details

zwischen

TU Darmstadt,

Waseda University, Tokyo, Japan

University of Tokyo, Tokyo, Japan.

Das von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) und der

Japanese Society for the Promotion of Science (JSPS) bewilligte internationale

Graduiertenkolleg beschaeftigt sich mit grundlegenden mathematischen

Fragestellungen der Fluiddynamik. Das Forschungsprogramm kombiniert

Methoden der Analysis, Stochastik, Logik, Geometrie, Numerik und Optimierung sowie ingenieurwissenschaftliche Aspekte um wesentliche Fortschritte in den

drei Forschungsschwerpunkten, Fundamentale Perspektiven,

Freie Randwertprobleme und Rotierende Grenzschichten, zu erzielen.

Am Graduiertenkolleg beteiligt sind auf Darmstaedter Seite die

Professoren Betz, Bothe, Egger, Farwig, Geissert, Hieber,Kohlenbach, Lukacova, Tropea, Ulbrich und Ziegler sowie auf japanischer Seite die Professoren Funaki, Giga, Hasegawa, Kawamura, Kozono, Notsu, Tabata, Yamamoto, Yamazaki und Yokoyama. Sprecher des Kollegs sind M. Hieber und H. Kozono.

Die Homepage des Graduiertenkollegs findet sich unter:

http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~igk

Im SFB 805 arbeiten rund 40 Wissenschaftler aus Teilgebieten des Maschinenbaus, der Mathematik und der Rechtswissenschaften zusammen um Unsicherheit in lasttragenden Systemen zu beherrschen. Gemeinsam werden zum einen neue Verfahren und Methoden zur Herstellung, zum anderen erweiterte mechatronische und adaptronische Technologien zur Nutzung entwickelt, um lasttragende Systeme im Einsatz zu stabilisieren und Beanspruchungen zu dämpfen.

Unsicherheit hat gewaltige gesellschaftliche und wirtschaftliche Auswirkungen – dies zeigt sich u.a. in der erschreckend hohen Zahl an Rückrufaktionen. In der Automobilindustrie sind es zeitweise über eine Million Fahrzeuge pro Jahr, die von Herstellern zurückgerufen werden. Gelingt es, Unsicherheit zu beherrschen, können Ausfälle begrenzt, und dabei dennoch die gegenwärtige Überdimensionierung vermieden und Ressourcen geschont werden.

Die Projektbereiche Produktentwicklung, Produktion und Nutzung erlauben eine ganzheitliche Erforschung von Unsicherheit.

Die Projektbereiche Produktentwicklung, Produktion und Nutzung erlauben eine ganzheitliche Erforschung von Unsicherheit.

Im Mittelpunkt unserer Forschung steht die ganzheitliche Beherrschung von Unsicherheit entlang aller Produktlebensphasen – von der Produktentwicklung über die Produktion bis hin zur Nutzung. Insgesamt 19 Teilprojekte aus drei Projektbereichen arbeiten dazu zusammen:

Im Projektbereich Produktentwicklung werden spezielle Konstruktionsprinzipien und mathematische Optimierungsmethoden entwickelt, um Unsicherheit bereits bei der Auslegung technischer Systeme zu beherrschen.

Im Projektbereich Produktion werden Prozessketten mit Hilfe mathematischer Methoden optimiert, umformende und zerspanende Fertigungsverfahren bei stets gleicher Fertigungsqualität flexibel gestaltet, und Funktionsmaterialien für aktive Bauteile synchron mit der Formgebung integriert.

Im Projektbereich Nutzung werden Methoden sowie passive, semi-aktive und aktive Technologien als Lösungsansätze für die Beherrschung von Unsicherheit in der Nutzungsphase lasttragender Strukturen entwickelt und erprobt.

Laufzeit: 2009-2020

SFB Homepage

In Mehrphasenströmungen gibt es unterschiedliche physiko-chemische Prozesse, die das Verhalten solcher Fluidssysteme bestimmen, z. B. die Strömungsmechanik der verschiedenen Fluide und die Dynamik der Grenzflächen, Wärme- und Stofftransport zwischen den Phasen, Adsorptionseffekte an der Grenzfläche und Transport von Spezies auf der Grenzfläche, variable Grenzflächeneigenschaften, Phasenwechsel etc.. In der Regel sind diese Teilprozesse eng miteinander gekoppelt, wobei die Eigenschaften der Grenzfläche eine entscheidende Rolle spielen. Ein genaues und tiefergehendes Verständnis des Verhaltens solcher sehr komplexen Strömungsprobleme muss auf physikalisch fundierten mathematischen Modellen beruhen, die insbesondere die lokalen Prozesse an der Grenzfläche berücksichtigen.

Das Ziel des Schwerpunktprogramms SPP 1506 ist es, solche Modelle weiterzuentwickeln und zu erweitern, ihre mathematischen Eigenschaften zu analysieren und numerische Methoden zur rigorosen Simulation dieser Modelle zu entwickeln und voranzutreiben. Dies erfordert stark interdisziplinäre Forschung mit Expertise aus der Angewandten Analysis, der Numerischen Mathematik, der Grenzflächenphysik und -chemie sowie aus relevanten Forschungsbereichen der Ingenieurwissenschaften. Wichtige Ziele des Schwerpunktprogramms sind:

  • Ableitung und Erweiterung mathematischer Modelle, die relevante physikalisch-chemische Grenzflächenphänomene beschreiben.
  • Verbesserung und Vertiefung des Verständnisses von Mechanismen und Phänomenen, die an fluidischen Grenzflächen auftreten, durch rigorose mathematische Analyse der zugrundeliegenden PDE-Systeme.
  • Entwicklung und Analyse numerischre Methoden zur Simulation von Mehrphasenströmungen, welche die lokalen Prozesse an der Grenzfläche auflösen.
  • Validierung dieser Modelle und der zugehörigen numerischen Simulationsmethoden durch speziell konzipierte Experimente.

Langfristige Vision ist dabei, dass die im Schwerpunktprogramm entwickelten, validierten Modelle und Simulationswerkzeuge signifikante Fortschritte in zukünftigen High-Tech-Anwendungen, wie z. B. in Lab-on-a-Chip-Systemen, Mehrphasenreaktoren in der Chemietechnik und der Mikroverfahrenstechnik, induzieren.

Koordination: Dieter Bothe (TU Darmstadt) and Arnold Reusken (RWTH Aachen)

Laufzeit: 2010-2016

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