Finite Element Mass Lumping for H(div) and H(curl)
Bogdan Radu
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der effizienten Implementierung von Finite-Elemente Verfahren für poröse Medien, Poroelastizität und Wellenausbreitung. Dies wird mittels mass-lumping realisiert, eine Approximationstechnik die das Invertieren von Massematrizen erheblich vereinfacht. Diese Methode taucht hauptsächlich in der Diskretisierung von Wellenpropagationsproblemen in H1 auf und ermöglicht eine schnellere Anwendung von expliziten Zeitschrittverfahren. Ein weiteres Themengebiet in dem mass-lumping eine Rolle spielt ist die Diskretisierung der Strömung in porösen Medien mittels gemischten Finite-Elementen. In diesem Kontext wird durch mass-lumping das resultierende algebraische Sattelpunktproblem zu einer symmetrisch positiv definiten Gleichung reduziert, die erheblich leichter zu lösen ist. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir speziell mass-lumping Strategien für die Diskretisierung in den Funktionenräumen H(div) und H(curl). Im ersten Teil dieser Arbeit widmen wir uns der Diskretisirung von porösen Medien sowie Poroelastizität. Wir werden in diesem Zusammenhang die bestehende Methode erster Ordnung mit mass-lumping untersuchen und Erweiterungen vorschlagen, die bessere Konvergenzeingeschaften besitzen und optimal in der Anzahl der Freiheitsgrade sind. Zudem werden wir eine rigurose Konvergenzanalyse präsentieren, die die Genauigkeit unserer Methoden belegt. In der zweiten Hälfte untersuchen wir Diskretisierungen mit mass-lumping für die akustische Wellengleichung in H(div) sowie für die Maxwell-Gleichungen in H(curl). Wir werden Methoden vorschlagen, die erste und zweite Ordnung konvergent sind. Zudem entwickeln wir eine neues Verfahren für die Methode erster Ordnung, die die Anzahl der Freiheitsgrade um die Hälfte (oder sogar mehr) reduziert. All diese Methoden werden mit einer vollen Konvergenzanalyse vorgestellt. Anschliessend werden wir unsere Resultate auch durch numerische Untersuchungen bestätigen.