Hyperbolic and elliptic Eisenstein series in n-dimensional hyperbolic space
David Christian Klein
Die klassische nicht-holomorphe Eisensteinreihe E^par_p(z,s) auf der oberen Halbebene ℍ ist assoziiert zu einem parabolischen Fixpunkt p einer Fuchsschen Gruppe Γ ⊆ PSL_2(ℝ) erster Art. Hyperbolische und elliptische Analoga von E^par_p(z,s) wurden ebenfalls untersucht; diese sind nicht-holomorphe Eisensteinreihen, die zu einem Paar hyperbolischer Fixpunkte von Γ bzw. einem Punkt in der oberen Halbebene assoziiert sind. Insbesondere bewies von Pippich Kroneckersche Grenzformeln für elliptische Eisensteinreihen auf der oberen Halbebene.
In der vorliegenden Arbeit betrachten wir hyperbolische und elliptische Eisensteinreihen im n-dimensionalen hyperbolischen oberen Halbraum ℍ^n für eine diskrete Gruppe Γ orientierungserhaltender Isometrien von ℍ^n, die endliches hyperbolisches Volumen besitzt. Hierbei realisieren wir diese Isometrien durch bestimmte Matrizen mit Einträgen in den Clifford-Zahlen. Wir definieren die hyperbolische Eisensteinreihe E^hyp_(Q_1,Q_2)(P,s), die zu einem Paar (Q_1,Q_2) hyperbolischer Fixpunkte von Γ assoziiert ist, und die elliptische Eisensteinreihe E^ell_Q(P,s), die zu einem Punkt Q ∈ ℍ^n assoziiert ist. Zunächst beweisen wir die absolute und lokal gleichmäßige Konvergenz dieser Reihen für s ∈ ℂ mit Re(s)>n-1. Anschließend zeigen wir einige weitere grundlegende Eigenschaften von E^hyp_(Q_1,Q_2)(P,s) und E^ell_Q(P,s) wie Γ-Invarianz, Glattheit und bestimmte Differentialgleichungen, welche diese Eisensteinreihen erfüllen.
Wir etablieren die meromorphen Fortsetzungen der hyperbolischen Eisensteinreihe E^hyp_(Q_1,Q_2)(P,s) und der elliptischen Eisensteinreihe E^ell_Q (P,s) in s auf die gesamte komplexe Ebene. Dazu nutzen wir die Relationen zwischen diesen Eisensteinreihen und der sogenannten hyperbolischen Kernfunktion K^hyp(P,Q,s), die mit Hilfe ihrer Spektralentwicklung in alle s ∈ ℂ meromorph fortgesetzt wird. Auf diese Weise etablieren wir auch die meromorphe Fortsetzung von E^hyp_(Q_1,Q_2)(P,s) über ihre Spektralentwicklung, und erhalten außerdem die meromorphe Fortsetzung von E^ell_Q(P,s), indem wir sie in Termen von K^hyp(P,Q,s) ausdrücken. Ferner bestimmen wir die möglichen Pole von E^hyp_(Q_1,Q_2)(P,s) und E^ell_Q(P,s).
Unter Verwendung der oben genannten meromorphen Fortsetzungen untersuchen wir das Verhalten der hyperbolischen Eisensteinreihe E^hyp_(Q_1,Q_2)(P,s) und der elliptischen Eisensteinreihe E^ell_Q(P,s) im Punkt s=0 mittels ihrer Laurent-Entwicklungen. Wir bestimmen die ersten beiden Terme in den Laurent-Entwicklungen von E^hyp_(Q_1,Q_2)(P,s) und E^ell_Q(P,s) um s=0 für beliebige n und Γ. Schließlich verfeinern wir die Laurent-Entwicklung von E^hyp_(Q_1,Q_2)(P,s) für n=2, Γ=PSL_2(ℤ) und n=3, Γ=PSL_2(ℤ[i]), sowie die Laurent-Entwicklung von E^ell_Q(P,s) für n=3, Γ=PSL_2(ℤ[i]), und erhalten Kroneckersche Grenzformeln in diesen konkreten Fällen.