Superkonvergente implizit-explizite (IMEX) Peer Verfahren

mit Jens Lang (Darmstadt) und Rüdiger Weiner (Halle)

Bei der räumlichen Diskretisierung von bestimmten zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungen (bspw. Advektions-Diffusions-Reaktions-Systeme) entstehen große Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen, deren rechte Seite in einen steifen und einen nicht-steifen Teil aufgeteilt werden kann. Wir entwickeln Zeitintegratoren, die die vorteilhaften Stabilitätseigenschaften von impliziten und die geringen Kosten von expliziten Verfahren kombinieren. Dabei müssen impliziter und expliziter Integrator zusammenpassen. Eine elegante Konstruktionsmöglichkeit solcher implizit-expliziter (IMEX) Verfahren ist es, mit einer passenden impliziten Peer Methode zu starten und sie anschließend in geeigneter Weise zu extrapolieren.

Peer Verfahren haben den Vorteil, dass alle Stufenwerte dieselbe Ordnung haben und somit das Problem der Ordnungsreduktion für steife System umgangen wird. Außerdem bleiben genügend freie Parameter, um zusätzliche Eigenschaften zu garantieren. Hierzu zählen u.a. optimale Nullstabiliät, A-Stabilität des impliziten Teils und insbesondere die Superkonvergenz. Die Konstruktion von neuen superkonvergenten IMEX-Verfahren für verschiedene Stufenzahlen ist ein Schwerpunkt unserer Arbeit. Darüber hinaus lassen sich Peer Verfahren unproblematisch auf variable Schrittweiten erweitern. Die Umsetzung für superkonvergente Verfahren ist Gegenstand aktueller Forschung.

M. Schneider, J. Lang
Well-Balanced and Asymptotic Preserving IMEX-Peer Methods
In F. J. Vermolen and C. Vuik, editors. Numerical Mathematics and Advanced Applications ENUMATH 2019. Springer (2021) arXiv-file

M. Schneider, J. Lang, R. Weiner
Super-Convergent Implicit-Explicit Peer Methods with Variable Step Sizes
J. Comput. Appl. Math. Vol. 387. 112501 (2021) doi:10.1016/j.cam.2019.112501; arXiv-file

M. Schneider, J. Lang, W. Hundsdorfer
Extrapolation-Based Super-Convergent Implicit-Explicit Peer Methods with A-stable Implicit Part
J. Comput. Physics. Vol. 367. pp. 121-133 (2018) doi:10.1016/j.jcp.2018.04.006 arXiv-file