Einführung in Quantenmechanik

von Martin Ziegler

Man hört ja so viel über Quantenmechanik und ihre Mysterien: den überlichtschnellen Tunneleffekt, die Unschärferelation, Materiewelleninterferenz, das EPR-Paradoxon, Hawking's Zerfallstheorie der Schwarzen Löcher...
Diese popularwissenschaftliche Einführung soll klarmachen, daß nicht die Quantenmechanik selbst mysteriös ist, sondern höchstens einige ihrer Interpretationen!

Wofür Quantenmechanik?

Die Klassische Mechanik erlaubt es, die Bewegung makroskopischer Körper wie Billardkugeln, Gewehrgeschosse, Planeten, Kreisel oder Pendel aus der Kenntnis der auf sie einwirkenden Kräfte vorherzusagen. Bei sogenannten Mikroteilchen, beispielsweise Elektronen oder Protonen, versagt diese Theorie jedoch: Sie kann das Linienspektrum des Wasserstoffatoms nicht beschreiben. Hier greift erst die Quantenmechanik.

Konsequent müßte man eine Gewehrkugel als gekoppeltes System von circa 10²³ Mikroteilchen (Eisenatome) behandeln, doch liegen die Differenzen der Vorhersagen der Quantenmechanik von denen der Klassischen Mechanik in der Regel weit unterhalb der Meßgenauigkeit. In diesem Sinne kann man die Klassische Mechanik als makroskopischen Grenzfall der Quantenmechanik bezeichnen [2].

Was ist Quantenmechanik?

Obwohl die Anfänge der Quantenmechanik bis in die 20er Jahre (Bohr, Sommerfeld) zurückreichen, gehen bis heute die Auffassungen auseinander über die sogenannte "Interpretation der Quantenmechanik". Um Mißverständnisse zu vermeiden, sollte daher nicht von der Quantenmechanik gesprochen werden sondern stets dazu gesagt sein, welche Interpretation gemeint ist; beispielsweise die der Kopenhagener Schule [4], die Teilchendichte-Interpretation, diejenige von David Bohm, die Schrödingersche Materiewellen-Theorie, die Bornsche oder vielleicht sogar Feynmans "Halt's-Maul-und-rechne!" -Interpretation.

Eine herausragende Rolle spielt die Quantenmechanik nach Ludwig [3], eine Verfeinerung der von Neumannschen Interpretation [0]. Sie beschreibt keine Einzelsysteme (z.B. Ion in der Paul-Falle); dafür tauchen in ihr die zahlreichen Paradoxien (z.B. EPR [8]) der anderen Interpretationen nicht auf! Auf diese Quantenmechanik beziehe ich mich im folgenden.

Was ist Quantenmechanik NICHT?

Quantenmechanik ist eine statistische Theorie und macht nur sehr wenig Aussagen über Einzelsysteme.
Insbesondere macht es keinen Sinn, von der 'Wellenfunktion eines Schwarzen Lochs' oder gar dem 'Eigenzustand des Universums' zu reden.
Ebensowenig besagt die Heisenbergsche Unschärferelation, man könne Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig messen.
Es gibt keine Energie-Zeit-Unschärfe: Da t keine Observable sondern ein Parameter ist [5], gilt stets [H,t]=0.
Ein Teilchen ist niemals eine Materiewelle. Der sogenannte 'Welle-Teilchen-Dualismus' bezieht sich auf statistische Gesamtheiten von Mikroobjekten.
| Psi(t) | = 1 für alle t repräsentiert nicht die Erhaltung der Teilchenzahl sondern die triviale Tatsache, daß die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle Zeiten =1 ist.
Beim Tunneleffekt überwindet den Potentialwall mit Überlichtgeschwindigkeit ein kleiner, nicht vorher bestimmbarer Bruchteil der statistischen Gesamtheit. Überlichtschnelle Informationsübertragung ist also auch hier unmöglich, im Einklang mit der Relativitätstheorie.
Die Quantenmechanik gehört nicht zu den Hidden-Parameter-Theorien, die nämlich Vorhersagen über Einzelsysteme machen unter der Annahme, gewisse bislang unbekannte Anfangswerte seien gegeben.

Schwachpunkte der Quantenmechanik

Die Quantenmechanik ist keine 'echte' Quantentheorie in dem Sinne, daß man die Existenz von Teilchen hineinsteckt. Sie beschreibt also, wie sich (statistische Gesamtheiten von) Teilchen verhalten; aber warum es Teilchen gibt, sagt sie nicht.
Insbesondere kann sie keine Erzeugung oder Vernichtung (z.B. zerfällt das freie Neutron nach 1/2h) von Teilchen erklären.
Wechselwirkung mit Licht läßt sich nur halbklassisch beschreiben, wodurch die spontane Emission unverstanden bleibt.
Bei der Aufstellung des Hamiltonoperators wird man von der Quantenmechanik einigermaßen im Stich gelassen: Sie nimmt ihn als gegeben an.
Eine befriedigende Synthese von Quantenmechanik und Einsteins Relativitätstheorie steht bis heute aus.

FAQs zur Quantenmechanik

Ist ein Elektron jetzt ein Teilchen oder eine Welle?
Weder noch.
Ein Elektron ist keine klassische Billardkugel, deren zukünftige Bahn aus ihrem jetzigen Bewegungszustand sich vorausberechnen läßt. Es ist aber auch keine oszillierende gaußförmige Dichtewolke: diese würde mit der Zeit auseinanderfließen (Dispersion).
Und wie ist das mit der Selbstinterferenz?
Wenn ein einzelnes Elektron durch den Doppelspalt fliegt, gibt es auf dem Schirm einen Lichtblitz. Die bekannt Intensitätsverteilung entsteht erst, wenn viele Elektronen den Spalt passiert haben und man über die Lichtblitze mittelt. Die vielen Elektronen bilden dann die statistische Gesamtheit.
Woher 'weiß' das einzelne Elektron, daß da ein zweiter Spalt in der Nähe ist?
Der Elektronenstrahl ist bezüglich des Impulses präpariert. Nach der Unschärferelation weist in ihm die Observable "Ort" eine große Streuung auf. Man kann sagen: Das Elektron 'besitzt' keine Ort. Es fliegt also weder durch den einen Spalt noch durch den anderen; aber auch durch 'beide gleichzeitig' kommt es nicht. Tatsächlich entsteht der Aufenthaltsort des Elektrons erst im Moment einer entsprechenden Messung. Aus diesem Grund ist es auch nicht zulässig zu fragen (ohne zu messen), durch welchen der beiden Spalte es denn nun gekommen sei.
Was versteht man unter "Kollabieren der Wellenfunktion"?
In der Frühzeit der Quantenmechanik wurde der Gedanke verfolgt, daß beispielsweise hinter dem Doppelspalt in dem Elektron beide Möglichkeiten, nämlich links durchgegangen zu sein oder rechts, als kohärente Überlagerung von zwei Zuständen präsent seien; erst eine Ortsmessung würde das Elektron zwingen, sich nachträglich für einen dieser Zustände zu entscheiden, indem es den anderen aus der Überlagerung hinausprojeziert: seine Wellenfunktion "kollabiert".
Dies führte jedoch auf Paradoxien wie die von Einstein, Podolski und Rosen (EPR) einer instantanen (also überlichtschnellen) Vermittlung dieses Kollapses.
Enthält die Wellenfunktion des Universums alle mögliche Information?
In der heutigen Quantenmechanik ist die Frage nach dem Zustand eines Systems (Universum, schwarzes Loch, Elektron) obsolet geworden: Schreibt Prof. Dr. Hegerfeldt in Physikalische Blätter 56 (2000) Nr. 11, Seite 53:
In Experimenten mit Atom- und Molekülstrahlen baut sich das Beugungsbild langsam auf. Ein einzelnes Teilchen ergibt kein Beugungs- oder Interferenzbild, sondern nur einen einzigen Punkt. Erst die Vielzahl solcher Punkte summiert sich zu einem Beugungsbild.
Dies ist eine wunderbare direkte Bestätigung der statistischen Intepretation der Quantenmechanik von Max Born, für die er 1954 den Nobelpreis erhielt, und dies zeigt deutlich, dass die Welleneigenschaft nicht einem einzelnen Teilchen, sondern dem gesamten Teilchenstrahl zukommt.
Lebt Schrödingers Katze noch?
Keine Ahnung, schau halt nach!
In einer statistischen Gesamtheit von Schrödingerkatzen leben nach der Zeit t noch 100*exp(-t*ln(2)/T) Prozent, wobei T=Halbwertszeit des Radioisotops.

Literatur über Quantenmechanik

[0] J. von Neumann: " Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik", Springer (1932)

[1] G.Grawert: "Quantenmechanik", Aula-Verlag 1989

[2] J.Schröter: "Classical Mechanics as a Limit of
Quantum Mechanics", Ann.Phys. Bd.23, (1969)

[3] G.Ludwig: "Foundations of Quantum Mechanics", Springer 1983

[4] J.Audretsch: "Wieviele Leben hat Schrödingers Katze?",
BI 1990

[5] F.Hättich: "Quantenmechanik im L-Konzept",
Diplomarbeit Uni-GH Paderborn 1996

[6] M.Ziegler: "Eine alternative Formulierung der Quantenmechanik",
Diplomarbeit Uni-GH Paderborn 1997

[7] "Quantenlogik oder klassische Logik: eine vergleichende Einführung"

[8] G.Ludwig: "Das EPR-Paradoxon als makroskopisches Experiment
und seine Auswirkungen auf unsere Vorstellung von Physik",
Ann.Phys. Bd.42 (1985) 150-168

[9] R.F. Werner: Vorlesung "Grundlagen und Interpretation der Quantenmechanik".