Hamiltonische Formulierungen der quantenmechanischen Dynamik

Diplomarbeit von Martin Ziegler

 

Inhaltsverzeichnis

  1. Einleitung und Überblick
  2. Lagrangesche Mechanik
  3. Hamiltonsche Mechanik
  4. Metaphysikalische Bemerkungen
  5. Quantenmechanik (QM)
  6. Probleme der QM
  7. Verallgemeinerte hamiltonische Systeme
  8. Polynome
  9. Hamiltonische Formulierungen der qm Dynamik
  10. Quantisierungen
  11. Mehrere und andere Freiheitsgrade
  12. Ausblick
  13. Rechnungen
  14. MuPAD-Programm

Einleitung und Überblick:   Seite

In den letzten 50 Jahren hat sich die Quantenmechanik als adäquate Beschreibung von Mikrosystemen fest etabliert: Vom einzelnen Wasserstoffatom über fußballförmige C60-Moleküle bis zum hochtemperatur-supraleitenden Festkörper mit 1023 beteiligten Elektronen liefert sie experimentell bestätigte Resultate. Ihr mathematischer Formalismus &emdash; den physikalischen Observablen entsprechen lineare Operatoren auf einem Hilbertraum &emdash; spielte eine wesentliche Rolle bei der Entwicklung einer neuen mathematischen Disziplin: der Funktionalanalysis.

Doch auch heute noch verbinden sich mit der Quantenmechanik zahlreiche Probleme, sowohl grundsätzliche wie praktische:

  1. Zum einen besteht Uneinigkeit darüber, wie die in der Schrödingergleichung
    d/dt Psi = - i/h H Psi
    beziehungsweise ihrer darstellungsunabhängigen Verallgemeinerung auftretenden Größen physikalisch zu interpretieren sind.
  2. Die Lösung der Schrödingergleichung, die für zeitunabhängigen Hamiltonian H auf dessen Diagonalisierung hinausläuft, ist meist sehr schwer.
  3. Für jede auftauchende unbeschränkte Observable (wie H, Q oder P) stellen sich Definitionsbereichsfragen, z.B. um über ihre Selbstadjungiertheit zu entscheiden.
  4. Beim Quantisieren, also dem Übergang von einer klassischen Hamiltonfunktion H=H(q,p) zum quantenmechanischen Hamiltonoperator H= H(Q,P) wird die Reihenfolge der Operatoren relevant, ist jedoch unbestimmt.
  5. Unbestimmt doch relevant sind weiterhin die kanonischen Variablen, in denen quantisiert wird: Obwohl seit Einstein sich kein lokalkartesisches Koordinatensystem gegen ein anderes auszeichnen läßt, liefert der Übergang von H nach H in r und phi im allgemeinen ein anderes Ergebnis als in x und y.
  6. In welcher Beziehung stehen überhaupt Quantenmechanik und klassische Mechanik, d.h. über das Quantisieren hinaus? Welche strukturellen Eigenschaften haben sie gemeinsam?

 

Im ersten Viertel (§1 bis §5) der vorliegenden Diplomarbeit werden diese Fragen erläutert, an Beispielen demonstriert und &emdash; nein, nicht gelöst; zumindest nicht uneingeschränkt. Dennoch bin ich stolz auf diesen Teil, genauer: auf das ausführliche Gegenbeispiel in §5.4; zeigt es doch, daß die Punkte d) und e) von einander unabhängig sind: Für jede Anordnung der Operatoren unterscheidet sich die Quantisierung des freien Teilchens in r und phi von der in x und y!

Zuvor wird die klassische Mechanik in den Formulierungen nach Lagrange (§1) und Hamilton (§2) kurz referiert als Beispiele von Theorien, bei denen Problem e) nicht auftritt: Sie sind forminvariant unter lokalkartesischen Koordinatentransformationen (§3). §4 stellt mit der axiomatischen Quantenmechanik nach von Neumann die mehrheitlich akzeptierte Interpretation im Sinne von Problem a) vor.

 

Die restlichen 3/4 der Diplomarbeit bemühen sich dann um eine alternative Formulierung, in der sich Probleme b), c), d) und f) zumindest teilweise lösen lassen. Grundlage ist die in §6 vorgestellte schrittweise Verallgemeinerung des Begriffs "hamiltonisch" von den Hamiltongleichungen der klassischen Mechanik im R2f auf endlichdimensionale Mannigfaltigkeiten, dann auf unendlichdimensionale, sowie schließlich seine Abstrahierung auf Bedingungen rein algebraischer Natur nach Fuchssteiner [28,29]. In diese Theorie, die sich bereits bei der Lösung kompliziertester Gleichungen wie der KdV von Korteweg und de Vries bewährt hat, wird die quantenmechanische Dynamik eingebettet, um damit viererlei zu erreichen:

  1. Eine bihamiltonische Formulierung für sie zu finden und damit auch einen Rekursionsoperator für Symmetrien zur Vereinfachung von Problem b).
  2. Eine Algebraisierung der Quantenmechanik, in der Punkt c) obsolet wird.
  3. Ein einschränkendes Kriterium, das gewisse Anordnungen von Operatoren beim Quantisieren als unzulässig ausschließt und damit auf Problem d) eingeht.
  4. Formäquivalenz von Quanten- und klassischer Mechanik in der gemeinsamen Struktur "Hamiltonsystem". Den drei üblichen Antworten auf Frage f)
    1. Die klassische Mechanik ist der makroskopische Grenzwert limh->0 der Quantenmechanik.
    2. Beides sind Repräsentationen von Lie-Algebren durch Poissonklammern bzw. durch den Operatorkommutator.
    3. Quantenlogik ist klassische Logik ohne Kommutativ- und Distributivgesetz.
    wird damit ein neuer, weitergehender Aspekt hinzugefügt.

Dieser skizzierten Vorgehensweise folgend, formuliert §8.2 die zur Schrödingergleichung äquivalente quantenmechanische Dynamik im sogenannten Heisenbergbild

Gleichung (13) : d/dt A = i/h [H,A]

als Bihamiltonsystem auf einer geeigneten unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeit von Hilbertraumoperatoren A. Diese Vorgehensweise führt auch prompt zu neuen Einsichten, genauer: zu neuen Symmetrien; neu insofern, als sie über das von (13) beschriebene hinausgehen, wie ich in §8.2 zeigen kann.

Schränkt man (13) ein auf A=Q und A=P, so läßt sie sich, einer Idee von Fuchssteiner [30] folgend, erneut als Hamiltonsystem formulieren, bei dem die Formäquivalenz zur klassischen Mechanik besonders ins Auge sticht:

d/dt (q,p) = ( ( 0 +1 ) ( -1 0 ) ) * nabla H(q,p), d/dt (Q,P) = ( ( 0 +1 ) ( -1 0 ) ) * nabla H(Q,P)

Hamiltonsystem, wenn der Kotangentialvektor nabla H erstens geeignet, zweitens wohl- definiert wird und ebenso drittens seine Identifikation mit einem Tangentialvektor (Tupel).
Hierzu modellieren wir in §7 einen polynomiell von Q und P abhängenden Hamiltonian H durch das Element einer freien nichtkommutativen Algebra, ausdividiert nach dem von QP-PQ-ih aufgespannten Ideal: Auf diese Weise ist die Nichtvertauschbarkeitsrelation [Q,P]=ih berücksichtigt. Tatsächlich gelingt in §8.3 für die so algebraisierte Dynamik der Quantenmechanik erneut eine hamiltonische Formulierung, die im Gegensatz zu (13) diesmal nichtlinear ist.

Um auch das dritte Ziel zu erreichen, ein Kriterium für die Anordnung der Operatoren beim Quantisieren, untersucht §8.5 eine weitere solche Formulierung, basierend auf sogenannten Densities. Für Einsformen auf diesen Objekten, die das algebraische Korrelat von unter Spurbildung unterscheidbaren quantenmechanischen Observablen darstellen, kann ich in §7.7 mit einigem Stolz den formalen Beweis eines von Prof. Fuchssteiner vermuteten Normalform-Theorems präsentieren. Dieses ist der zentrale Punkt, die bereits erwähnte Identifikationsabbildung von Kotangential- in den Tangentialraum auch hier wohlzudefinieren. Mit deren Eigenschaften wiederum gelingt der Beweis, auf den ich nicht minder stolz bin, daß diese Formulierung der Heisenberg-Dynamik ebenfalls hamiltonisch ist. Ein überraschendes Gegenbeispiel zeigt, daß, über die bloßen Gradienten hinaus, alle geschlossenen Einsformen (was ohne Poincare-Lemma in der Tat 'mehr' ist) nötig sind, um die Punkte des Tangentialraums zu trennen, und rundet §8 ab.

§9 untersucht das sich aus dieser Formulierung ergebende Kriterium für die Operator-Reihenfolge. Tatsächlich differieren für manche Quantisierungen (z.B. §9.3.4) diese und die von Neumann-Dynamik. In diesen Fällen wurden also die Operatoren Q und P 'inkorrekt' angeordnet. Umgekehrt zeigt §9.4.2, daß eine in diesem Sinne zulässige Reihenfolge stets existiert. Die Hoffnung auf Eindeutigkeit enttäuscht jedoch das Gegenbeispiel §9.4.1.

Die bisherige Beschränkung der Dynamik von §8.5 auf einen kartesischen Freiheitsgrad (Q1, .., Qf, P1, .., Pf für f=1) hebt §10.1 auf und findet für f=3 sogar eine praxisrelevante, große Klasse zulässiger Quantisierungen; siehe §10.1.6. Der Rest von §10 beschäftigt sich damit, Heisenbergs Modell des anisotropen ferromagnetischen Festkörpers ebenfalls hamiltonisch umzuformulieren. Eine Übertragung der beiden Methoden §8.3 und §8.5 von kartesischen auf Spin-Freiheitsgrade scheitert jedoch, und so etabliert §10.6 für diesen Fall eine neue Identifikation von Kotangential- und Tangentialraum. Auch hierfür muß wieder ein Normalformproblem von Einsformen gelöst werden. Dies geschieht erfolgreich in §10.6.3, und damit geling zum vierten Mal die hamiltonische Umformulierung einer quantenmechanischen Dynamik.

Erwähnt sei hier noch das Programm §13, das ich zum Beweis von Aussagen über endlich viele nichtkommutative Polynome geschrieben habe, wie zum Beispiel §9.4.1, §9.4.2 und §9.5.2. Überhaupt war ich ausgesprochen froh, so viele Bereiche aus meinem Studium in dieser Diplomarbeit anwenden zu können: Beispielsweise Funktionalanalysis, Algebra, Differentialgleichungen, Theoretische Mechanik, Quantentheorie bis hin zu Computeralgebra. Das einzige, was nicht vorkommt, sind Zahlentheorie und Thermodynamik...

Ja, ich finde die Arbeit dermaßen unheimlich interessant und wahnsinnig spannend, daß ich sie unbedingt und auf der Stelle herunterladen möchte! (als gzip-komprimiertes Postscript-Dokument)