Inhalt: Funktionalanalysis übeträgt Ideen der linearen Algebra auf Vektorräume
von Funktionen. Dieser Leitgedanke findet seine natürliche Fortsetzung
in der Spektraltheorie: Sie überträgt die Idee der Eigenwerte und
Eigenvektoren auf lineare Abbildungen auf Funktionenräumen.
Im Zentrum der Vorlesung steht der operatoralgebraische Zugang
zur Spektraltheorie von Operatoren auf Hilberträumen mit einigen
Ausblicken in die Theorie der Operatoralgebren.
Zielgruppe: Die Vorlesung richtet sich an Studierende der Mathematik und Physik
ab 6. Semester mit Vorkenntnissen in Funktionalanalysis und Interesse an
Funktionalanalysis, Operatoralgebren, mathematischer Physik, Quantenmechanik, ebenso wie an Studierende mit Interessen in der Darstellungstheorie, Liegruppen oder angewandter Analysis. Insbesondere ist sie Teil des Vertiefungszyklus
"Darstellungstheorie und Operatoralgebren."
Unabhängig von den vielfältigen Anwendungen hat aber auch die Verbindung von
analytischen Fragestellungen mit algebraischen Methoden ihren eigenen
mathematischen Reiz.
Fortsetzung: Die Vorlesung wird im darauffolgenden Semester fortgesetzt mit
Veranstaltungen über Operatoralgebren, an welche sich bei Interesse
unmittelbar wissenschaftliche Arbeiten anschließen können.
Format: Die Veranstaltung ist im Format 2+1 geplant. Die Vorlesung findet
dienstags, 11.40 - 13.20, im Raum S101/2 statt.
Literatur: Conway, A Course in Functional Analysis. Weitere Literatur
wird in der Vorlesung angegeben.
Zusammenfassung:
Von Geschichte und Geschichten der Mathematik handeln 14 Vorlesungen. Die erste
Geschichte (Vorlesungen 1 - 3) erzählt die Mathematik selbst: Ihre eigene
Geschichte - natürlich nicht annähernd vollständig: In drei Vorlesungen
beschränken wir uns darauf zu beobachten, wie Ansichten über die Mathematik
die Ansichten der Mathematik verändern. Die Entwicklung der Mathematik der
Knoten rundet einige Einsichten ab (4. Vorlesung).
Aus der Geschichte der Mathematik können wir auch einiges über Inhalt und Aufbau
eines Mathematikstudiums lernen, darüber wollen wir in Vorlesungen 5 und 6 nachdenken.
Drei Geschichten nehmen ihren Ausgang bei Pythagoras: Die Geschichte über ihn
selbst in Vorlesung 7, in Vorlesung 8 die Geschichte der mathematischen
Weltmodelle (2009 ist Keplerjahr) und schließlich die Geschichte der Zahlen in
Vorlesung 9.
Vier weitere Geschichten beginnen bei Zenon von Elea und sind noch längst
nicht zu einem Ende gekommen. Seine Paradoxa (Vorlesung 10) weisen uns den
Weg zu einigen der aufregendsten Geschichten der Mathematik
(Vorlesungen 11, 12, und 13), die Hauptrolle spielt die Unendlichkeit in
verschiedenen Kostümen.
Ob alle diese Geschichten eine Moral haben, darüber denken wir in der
14. und letzten Vorlesung nach.
Die Vorlesungen im einzelnen:
1. Die Geburt der Mathematik.
Geboren im Orient, aufgewachsen in Griechenland, gereift in Sizilien,
gealtert, ermordet und vergessen in Alexandria -- das ist die Geschichte
der Mathematik im Altertum. Ein klein wenig ausführlicher wollen wir ihren
Lebensweg in der ersten Vorlesung verfolgen.
2. Wiedergeburt und Aufstieg der Mathematik.
Der Phönix erhob sich schneller aus der Asche als die Mathematik aus der
mathematischen Finsternis des Mittelalters: Sie brauchte viele hundert Jahre.
Mühsam ordnete sie ihr arg zerrupftes Federkleid, bis allmählich neue Federn
nachwuchsen und ihr neue Perspektiven eröffneten. Sie konnte wieder fliegen
und neue Länder erkunden. Der Aufwind der analytischen Geometrie hob sie
empor bis zum Infinitesimalkalkül. Nun ging alles fast wie von selbst und
ihr Schwung trug sie bis über die Aufklärung hinaus.
3. Welt, ich muss dich lassen.
Welten gibt es, die gibt es gar nicht: Komplexe Zahlen, nichteuklidische
Geometrien, zerstückelte Funktionen. Was tun? Der realen Welt entsagen
und nochmal von vorne anfangen -- wenigstens, was die Grundlagen angeht!
Befreit von der realen Welt ist die Freiheit grenzenlos für Funktionentheorie,
Algebra und n-dimensionale Räume. Die Axiomatik kappt die letzen Fesseln an die
reale Welt und betätigt sich als Geburtshelferin für moderne Algebra,
Topologie, Funktionalanalysis, und viele andere. Neue Strukturen braucht
die Mathematik, Bourbaki gibt sie ihr und nun kann sich die Mathematik
wieder ihren großen Problemen zuwenden, jenseits von alten Gebietsgrenzen.
4. Why knot?
Mathematiker lösen Probleme. Aber wo kommen die Probleme eigentlich her?
Die Mathematik der Knoten verdankt ihre Entwicklung den unterschiedlichsten
Anlässen, unter anderen A.v. Humboldts Weltreisen, dem unverstandenen
Periodensystem der Elemente oder den Operatoralgebren. Vor allem in den
vergangenen 25 Jahren hat sie ihrerseits viele Gebiete der Mathematik und
Naturwissenschaften befruchtet: Geben und Nehmen in der Mathematik!
5. Wieviel Mathematiken gibt es eigentlich?
Rechnen im Supermarkt, Kurvendiskussionen in der Schule, Algebra im Mathe-Studium.
Wieviele Mathematiken gibt es eigentlich? Und warum ist eine Differentialgleichung
für einen Ingenieur so etwas ganz anderes als für die Dozentin der Analysis III?
Das wollen wir uns mal genauer anschauen. Wir sehen, dass auch die Objekte der
Mathematik nackt auf die Welt kommen, nebenbei lernen wir manche Fehler aus
unseren Anfängerübungen besser zu verstehen und wir sehen, dass gerade die
abstrakte Mathematik weit offen für neue Anwendungen ist.
6. Die Erschaffung der Mathematik im Mathe-Studium.
Auch das Mathematik-Studium muss irgendwo anfangen. Aber wo? An der schmalsten
Stelle der Mathematik! Die wollen wir näher betrachten und zuschauen, wie sich
die Mathematik am eigenen Schopf aus dem Sumpf der Vagheiten zieht und sich zu
dem großen Baum entfaltet, den wir aus dem Mathematik-Studium kennen.
7. Esoterische Mathematik.
Nach den großen Religionsstiftern ist Pythagoras einer der folgenreichsten
Denker der Menschheit. Er hat uns nicht nur die Worte "Mathematik",
"Philosophie" und "Esoterik" hinterlassen, er hat auch die Weichen gestellt für
die mathematische Erfassung der Welt und für die Rolle der Mathematik in der
Bildung bis heute.
8. Die Vermessung der Welt -- aber der ganzen!
Pythagoras hat den Stein ins Wasser geworfen, die Wellen breiten sich bis
heute aus: Die Bewegung der Gestirne gehorcht den Gesetzen der Mathematik.
Im Kepler-Jahr verfolgen wir einige Wellen, die dieser Gedanke geschlagen hat.
9. Bitte Zahlen!
Alles ist Zahl. Mit diesem Wahlspruch zogen Pythagoras und seine Schüler aus,
die Welt zu erklären. Aber was ist das eigentlich, eine Zahl? Mit der
Beantwortung dieser Frage mühen sich die Mathematiker nun schon mehr als
2500 Jahre ab. Wir schauen einigen von ihnen dabei zu.
10. Zenon von Elea: Das größte Mathe-Quiz aller Zeiten.
Zenon von Elea jagte Achill der Schildkröte hinterher, brachte fliegende
Pfeile zum Stehen und raubte dem Raum seine Punkte. Seine Fragen zur
Unendlichkeit treiben den Mathematikern seit zweieinhalb tausend Jahren den
Schweiß auf die Stirn und manche in den Wahnsinn.
11. Jenseits von Nano: Unendlich kleine Größen.
Unendlich klein und doch nicht Null. Wie soll das gehen? Newton und Leibniz
gründeten ihre ganze Infinitesimalrechnung auf diese geisterhafte Wesen
zwischen Sein und Nichtsein. Mit viel Mühe wurden sie im 19. Jahrhundert von
epsilon und delta vertrieben -- bis sie ab 1960 plötzlich wieder auftauchten,
unter anderem in Darmstadt.
12. Jenseits von Giga: Das Unendliche zwischen Sein und Nichtsein.
Das Unendliche ist nicht von dieser Welt, davon war Aristoteles überzeugt.
Später war die Unendlichkeit Gott vorbehalten, wer daran zweifelte, zahlte mit
dem Leben. Seither wechselt es zwischen Sein und Nichtsein, bis sich Cantor
gezwungen sah, seine Existenz anzuerkennen und die Unendlichkeit fest in der
Mathematik zu verankern.
13. Jenseits von Unendlich: Hört das denn nie auf?
Die Musik ist an allem schuld, genauer, die schwingende Saite. Ihr Klang brachte
Cantor dazu, hinter das Unendliche zu schauen, wo er neue Unendlichkeiten
erblickte. Durch die Türe, die er geöffnet hatte, fiel auch neues Licht auf die
alte Frage von Zenon: Wie lang ist ein Punkt?
14. Was ist Wahrheit in der Mathematik?
Wo sind sie eigentlich, die Mathematik und ihre Wahrheiten? In unseren Köpfen,
im Reich der Ideen, oder erschaffen wir sie immer wieder neu? Von unseren
Ausflügen bis an die Grenzen der Mathematik haben wir genügend
Anschauungsmaterial mitgebracht, um einigen Meinungen berühmter Philosophen
zu dieser Frage folgen zu können.
Zielgruppe und Voraussetzungen:
Die Veranstaltung richtet sich an alle Studierende der Mathematik
ab dem 4. Semester, insbesondere auch an Studierende des Lehramtes, sie kann aber
in Teilen auch schon früher verfolgt werden. Hilfreich sind
mathematische Kenntnisse und Erfahrungen im Umfang der mathematischen
Grundvorlesungen Analysis 1/2 und Lineare Algebra.
Verwendbarkeit
Für Studierende des Bachelor-Studienganges Mathematik ist die Vorlesung ein
Angebot im Rahmen des Wahlpflichtbereichs "`Mathematik im Kontext"' (3 LP);
Studierende des Lehramtes können die Vorlesung in einen Kombinationsmodul
einbringen (die Modalitäten müssen noch geklärt werden, voraussichtlich können
die zusätzlichen 1.5 LP durch eine Prüfung erworben werden)
Ort und Zeit:
Di. 14.25 - 16.05 im Raum S103/221.
| 14. |
April |
2009 |
1. |
Die Geburt der Mathematik. |
| 21. | April | 2009 | 2. | Wiedergeburt und Aufstieg der Mathematik. |
| 28. | April | 2009 | 3. | Welt, ich muss dich lassen. |
| 5. | Mai | 2009 | 4. | Why knot? |
| 12. | Mai | 2009 | 5. | Wieviel Mathematiken gibt es eigentlich? |
| 19. | Mai | 2009 | 6. | Die Erschaffung der Mathematik im Mathe-Studium. |
| 26. | Mai | 2009 | 7. | Esotherische Mathematik. |
| 2. | Juni | 2009 | 8. | Die Vermessung der Welt – aber der ganzen! |
| 9. | Juni | 2009 | 9. | Bitte Zahlen! |
| 16. | Juni | 2009 | 10. | Zenon von Elea: Das größte Mathe-Quiz aller Zeiten. |
| 23. | Juni | 2009 | 11. | Jenseits von Nano: Unendlich kleine Größen. |
| 30. | Juni | 2009 | 12. | Jenseits von Giga: Das Unendliche zwischen Sein und Nichtsein. |
| 7. | Juli | 2009 | 13. | Jenseits von Unendlich: Hört das denn nie auf? |
| 14. | Juli | 2009 | 14. | Was ist Wahrheit in der Mathematik? |
Inhalt: Das Thema "Positive Definitheit" schlägt eine Brücke zwischen
Funktionalanalysis und Darstellungstheorien in verschiedenen Bereichen der Mathematik,
z.B. Darstellungen von Gruppen, Darstellungen von Operatoralgebren,
Darstellungen stochastischer Prozesse.
Die Idee des Seminars ist es, scheinbar recht verschiedene Gedanken in der Mathematik
unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zu betrachten und verstehen zu lernen. Fast
immer werden positiv definite Kerne oder Funktionen dazu benutzt, einen geeigneten
Hilbertraum für die gesuchten Darstellungen zu konstruieren.
Zielgruppe: Voraussetzung für die Teilnahme an diesem Seminar sind gute Kenntnisse in
Funktionalanalysis. Welche Schwerpunkte wir im einzelnen setzen werden, hängt auch von
den weiteren Vorkenntnissen und Interessen der Teilnehmerinnen und Teilnehmer ab.
Fortsetzung: In Kombination mit der Vorlesung "`Spektraltheorie"' im
Sommersemester 2009 (s.o.) eignet sich das Seminar auch als Grundlage für
wissenschaftliche Arbeiten.
Anmeldung: im Sekretariat, Raum 103, bei Frau Müller
Inhalt: Lehrerinnen und Lehrer der Mathematik prägen in besonderer Weise das
Bild der Mathematik in der Öffentlichkeit. Im Zentrum dieses Seminars stehen
mathematikbezogene Themen, die für eine breite Öffentlichkeit von Interesse sind,
ihre Bedeutung für das Bild der Mathematik sowie ihre didaktische Aufbereitung
für die allgemeine, insbesondere auch die schulische Öffentlichkeit.
In einer vorgezogenen einführenden Veranstaltung werden wir uns mit dem Halten von
Vorträgen befassen; das eigentliche Seminar soll in Form einer Block-Veranstaltung
an einem Wochenende durchgeführt werden.
Voraussetzung für die Teilnahme an diesem Seminar sind mathematische
Kenntnisse und Erfahrungen im Umfang der Grundvorlesungen Analysis I und II sowie
Lineare Algebra I und II.
Verwendbarkeit Das Seminar gilt als fachdidaktisches Seminar und kann
insbesondere mit der ebenfalls in diesem Sommersemester angebotenen Veranstaltung
"Mathematik im Kontext" zu einem Kombinationsmodul kombiniert werden.
Die Zahl der Teilnehmerinnen und Teilnehmer ist auf 16 begrenzt. Das Seminar ist bereits
voll.
