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Quantenwahrscheinlichkeitstheorie

Stellen Sie sich vor, Sie werfen einen Würfel und erhalten eine 2,5 - Es ist ein ganz normaler Würfel, auf seinen Seiten stehen die Zahlen 1 bis 6. In unserer Alltagswelt werden wir das bis auf weiteres nicht erleben, aber in der Welt der Quantenmechanik schon. Die berühmteste Illustration für diese Eigentümlichkeit der Quantenmechanik ist wohl Schrödingers Katze, ein Gedankenexperiment: Eine Katze ist tot oder lebendig. Nach den Regeln der Quantenmechanik aber kann sie in einen Zustand zwischen Leben und Tod gebracht werden, der in unserer Alltagswelt keine Entsprechung hat, ja über den man in der Alltagssprache nicht einmal sinnvoll sprechen kann.

Mit Katzen sind solche Zustände auf lange Sicht nicht herstellbar, vielleicht sogar nie – glücklicherweise. Im Mikrokosmos aber ist sieht das ganz anders aus: Photonen, Elektronen und andere Bausteine der Materie lassen sich ständig in solchen Zuständen beobachten. Will man ihr zufälliges Verhalten beschreiben, so ist es nicht mehr damit getan festzustellen, dass sich ein solches Teilchen in einem unterteilten Kasten mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 in der rechten Hälfte, also mit der Gegenwahrscheinlichkeit 0,7 in der linken Hälfte aufhält. Auch quantenmechanischen Zustände zwischen rechts und links müssen berücksichtigt werden.

Eine ausführlichere Diskussion dieser Eigentümlichkeit der Quantenmechanik findet sich hier (94KB) und, etwas mathematischer, hier (242KB).

Die mathematische Beschreibung solchen Verhaltens erfordert eine verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitstheorie, die Quanten-Wahrscheinlichkeitstheorie oder Nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie . Die Entwicklung dieser mathematischen Theorie und ihre Anwendung auf physikalische Modelle steht im Zentrum unseres Interesses. Das Pendeln zwischen reiner Mathematik und konkreten physikalischen Anwendungen macht den besonderen Reiz dieses Gebietes aus.

Mathematische Standortbestimmung

Operatoralgebren stellen einen geeigneten mathematischen Rahmen zur Verfügung, der es erlaubt, klassische und quantenmechanische Phänomene gemeinsam zu behandeln. Früher oder später formulieren wir daher unsere Resultate in dieser Sprache. Unsere mathematischen Werkzeuge sind also vor allem funktionalanalytischer Natur. Darum herum sind eine Reihe weiterer mathematischer Gebiete für unsere Arbeit wichtig. Unsere mathematische Landkarte sieht etwa folgendermaßen aus:

Bild Mathematische Landschaft

Innerhalb der Quanten-Wahrscheinlichkeitstheorie stehen Quanten-Markoff-Prozesse im Zentrum unseres Interesses. Wichtige Schlüsselwörter sind: Kodierungstheorie, Asymptotisches Verhalten, Ergodentheorie, vollständig positive Operatoren, (Quanten-) stochastische Differentialgleichungen, Filter- und Vorhersage, wiederholte Quantenmessung, Quantenrauschen, Anwendungen in der Quantenoptik, offene Quantensysteme, Micro-Maser, verschränkte Zustände und Tensorprodukte.

Einführungen in verschiedene Aspekte unserer mathematischen Arbeit finden sich in folgenden Texten:

B. Kümmerer: Quantum Markov Processes and Applications in Physics. In O. Barndorff-Nielsen, U. Franz, R. Gohm, B. Kümmerer, S. Thorbjørnsen: Quantum Independent Increment Processes II, Springer Lecture Notes in Mathematics 1866, 2006, 259-330.

B. Kümmerer: Quantum Markov Processes. In A. Buchleitner and K. Hornberger (Eds.): Coherent Evolution in Noisy Enviroments. Springer Lecture Notes in Physics, Vol. 611. (2002), 139 - 198.

B. Kümmerer: Stationary Processes in Quantum Probability. In S. Attal, M. Lindsay (Eds.): Quantum Probability Communications XI, World Scientific 2003, 273 - 304.

Publikationen nach Themen

Einführungen in verschiedenen Aspekte der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie: [Kue06] [Kue03] [Kue02] [KM98] [Kue88]

Ergodentheorie von Quantentrajektorien: [MK06] [MK04] [MK03] [BMK03]

Quanten-Markov-Prozesse in der Physik: [BGKRSS13] [LKM03] [HHKKR03] [WBKM00] [Kue84] [KS83]

Streutheorie für Quanten-Markov-Prozesse [GKL06] [WBKM00] [KM00]

Grundlagen der Quantenmechanik: [AGKKMW02] [KM98]

Stochastische Prozesse auf der Algebra der kanonischen Vertauschungsrelationen [HHKKR02] [HK01]

Weißes Rauschen und stochastische Integration [HHKBK02] [HKK98] [Kur98] [KS92]

Freies und q-weißes Rauschen [Kue98] [BKS97] [KS92]

Struktur von Quanten-Markov-Prozessen [Kue98] [Kue87] [KM87] [Kue85.3] [Kue85.2] [Kue85.1]

Unitäre Dilatationen: [KS85]

Vollständig positive Operatoren: [KM87] [Kue85.3] [GK82]

Ergodensätze für vollständig positive Operatoren [KS14] [GK12] [KN79] [Kue78]

Buchprojekt

B. Kümmerer, H. Maassen: Quantum Markov Processes. An Introduction to Quantum Probability with Operator Algebras, Finite Systems. Springer International Publishing AG, 2015.

Publikationen seit 2000

B. Kümmerer, K. Schwieger: Diagonal Couplings of Quantum Markov Chains (2014). arXiv:1402.2448.

David Bücher, Andreas Gärtner, Burkhard Kümmerer, Walter Reußwig, Kay Schwieger, Nadiem Sissouno: Ergodic Properties of Quantum Birth and Death Chains (2013). arXiv:1306.3776.

A. Gärtner, B. Kümmerer: A Coherent Approach to Recurrence and Transience for Quantum Markov Operators (2012). arXiv:1211.6876.

R. Gohm, B. Kümmerer, T. Lang: Noncommutative Symbolic Coding. J. Ergodic Theory and Dynamical Systems 26 (2006), 1521 - 1548.

H. Maassen, B. Kümmerer: Purification of quantum trajectories. In Denteneer, den Hollander, Verbitskiy (Eds.): Dynamics & Stochastics , IMS Lecture Notes-Monograph Series Vol 48 (2006), 252-261. arXiv:quant-ph/0505084.

B.Kümmerer: Quantum Markov Processes and Applications in Physics. In O. Barndorff-Nielsen, U. Franz, R. Gohm, B. Kümmerer, S. Thorbjørnsen: Quantum Independent Increment Processes II , Springer Lecture Notes in Mathematics 1866, 2006, 259-330.

B. Kümmerer, H. Maassen: A pathwise ergodic theorem for quantum trajectories. J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004) 11889-11896. arXiv:quant-ph/0406213.

L. Bouten, B. Kümmerer, H. Maassen: Constructing the Davies Process of Resonance Fluorescence with Quantum Stochastic Calculus. Optics and Spectroscopy Vol. 94, No. 6 (2003), 911 - 919. arXiv:quant-ph/0207164.

B. Kümmerer, H. Maassen: An Ergodic Theorem for Quantum Counting Processes. J. Phys. A: Math Gen. 36 (2003), 2155 - 2161. arXiv:quant-ph/0102134.

B. Kümmerer: Stationary Processes in Quantum Probability. In S. Attal, M. Lindsay (Eds.): Quantum Probability Communications XI , World Scientific 2003, 273 - 304.

B. Kümmerer: Quantum Markov Processes. In A. Buchleitner and K. Hornberger (Eds.): Coherent Evolution in Noisy Enviroments, Springer Lecture Notes in Physics, Vol. 611. (2002), 139 - 198.

M. D'Ariano, R. D. Gill, M. Keyl, B. Kümmerer, H. Maassen, R.F. Werner The Quantum Monty Hall Problem. Quant. Inf. Comp. 2 (2002), 355 - 362. arXiv:quant-ph/0202120.

J. Hellmich, R. Honegger, C. Köstler, B. Kümmerer, A. Rieckers: Couplings to Classical and Non-Classical Squeezed White Noise as Stationary Markov Processes. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 28.1 (2002), 1 - 31.

C. Hertfelder, B. Kümmerer: Classical analogs of quasifree quantum stochastic processes given by stochastic states of the quantized electromagnetic field. Journ. Math. Phys. 42.3 (2001), 1006 - 1017.

T. Wellens, A. Buchleitner; B. Kümmerer, H. Maassen: Quantum state preparation via asymptotic completeness. Phys. Rev. Letters 85 (2000), 3361 - 3364.

B. Kümmerer, H. Maassen: Scattering Theory for Generalized Markov Chains. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, Vol. 3 (2000).

Ausgewählte frühere Publikationen

J. Hellmich, K. Köstler, B. Kümmerer: Stationary quantum Markov processes as solutions of stochastic differential equations. In Quantum Probability, Banach Center Publications 43 (1998), 217 - 229.

B. Kümmerer Quantum Markov processes driven by white noise. In H. Heyer, J. Marion (Eds.): Analysis on Infinite Dimensional Lie Groups and Algebras, World Scientific 1998, 216 - 228.

B. Kümmerer, H. Maassen: Elements of quantum probability. In Quantum Probability Communications X, World Scientific 1998, 73 - 100.

M. Bozejko, B. Kümmerer, R. Speicher: q-Gaussian Processes: Non-commutative and Classical Aspects. Commun. Math. Phys. 185 (1997), 129 - 154.

B. Kümmerer, R. Speicher: Stochastic Integration on the Cuntz Algebra O. Journal Funct. Anal. 103 (1992), 372 - 408.

B. Kümmerer: Survey on a Theory of Non-Commutative Stationary Markov Processes. In L.Accardi, W.v.Waldenfels (Eds.): Quantum Probability and Applications III, Proceedings Oberwolfach 1987, , Springer Lecture Notes in Mathematics 1303 (1988) ,154-182.

B. Kümmerer, H. Maassen: The Essentially Commutative Dilations of Dynamical Semigroups on Mn. Commun. Math. Phys. 109 (1987), 1-22.

B. Kümmerer: On the Structure of Markov Dilations on W*-Algebras. In L. Accardi, W. von Waldenfels (Eds.): Quantum Probability and Applications II, Heidelberg 1984, Lecture Notes in Mathematics 1136, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1985, 318-331.

B. Kümmerer, W. Schröder: A New Construction of Unitary Dilations: Singular Coupling to White Noise. In L. Accardi, W. von Waldenfels (Eds.): Quantum Probability and Applications II, Heidelberg 1984, Lecture Notes in Mathematics 1136, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1985, 332-347.

B. Kümmerer: Markov Dilations on the 2x2-Matrices. In H. Araki, C.C. Moore, S. Stratila, D. Voiculescu (Eds.): Operator Algebras and their Connections with Topology and Ergodic Theory, Busteni 1983, Lecture Notes in Mathematics 1132, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1985, 312-323.

B. Kümmerer: Markov Dilations on W*-Algebras. Journal Funct. Anal. 63 (1985), 139-177.

B. Kümmerer: Examples of Markov Dilations over the 2x2-Matrices. In L. Accardi, A. Frigerio, V. Gorini (Eds.): Quantum Probability and Applications to the Quantum Theory of Irreversible Processes, Villa Mondragone 1982, Lecture Notes in Mathematics 1055, Springer Verlag, Berlin- Heidelberg-New York 1984, 228-244.

B. Kümmerer, W. Schröder: A Markov Dilation of a Non-Quasifree Bloch Evolution. Comm. Math. Phys. 90 (1983), 251-262.

U. Groh, B. Kümmerer Bibounded Operators on W*-Algebras. Math. Scand. 50 (1982), 269-285.

B. Kümmerer, R. Nagel: Mean Ergodic Semigroups on W*-Algebras. Acta Sci. Math. 41 (1979), 151-159.

B. Kümmerer: A Non-Commutative Individual Ergodic Theorem. Inventiones math. 46 (1978), 139-145.





Organisation von Workshops
Betreute Dissertationen
  • R. Speicher: Quantenstochastische Prozesse auf der Cuntz-Algebra. Heidelberg, 1989 (gemeinsam betreut mit W. v. Waldenfels).
  • M. Epple: A Class of Non-Commutative Stationary Processes over the 2x2-Matrices. Tübingen, 1991.
  • R. Gohm: Untersuchungen über polynomiale Beschränktheit und einige spektraltheoretische Anwendungen. Tübingen, 1993.
  • C. Rupp: Non-commutative Bernoulli Shifts on Towers of von Neumann Algebras. Tübingen, 1995.
  • J. Hinz: Lineare Filterung in der Quantenstochastik. Tübingen, 1997.
  • C. Hertfelder: Quantisierung unendlichdimensionaler klassischer linearer Systeme. Stuttgart, 1999.
  • C. Köstler: Quanten-Markoff-Prozesse und Quanten-Brownsche Bewegungen. Ein operatoralgebraischer Zugang. Stuttgart, 2000.
  • J. Hellmich: Quantenstochastische Integration in Hilbertmoduln. Tübingen, 2002.
  • T. Lang: Ein streutheoretischer Zugang zu Kodierungsproblemen von klassischen und Quanten-Markoff-Prozessen. Stuttgart 2003.
  • N. Gebhardt: Quantenstochastische Differentialgleichungen auf von Neumann Algebren vom Typ III. Stuttgart, 2004.
  • F. Haag: Asymptotisches Verhalten von Quanten-Markov-Halbgruppen und Quanten-Markov-Prozessen. Darmstadt, 2006.
  • L. Steiner: A C*-Algebraic Approach to Quantum Coding Theory. Darmstadt, 2007.
  • N. Sissouno: A Non-Commutative Version of the Coupling from the Past Algorithm. Darmstadt, 2011.
  • K. Schwieger A Coupling Method for Quantum Markov Processes. Darmstadt, 2012.
  • W. Reußwig: Ein darstellungstheoretischer Zugang zu Verschränkungseigenschaften endlich korrelierter Zustände. Darmstadt, 2013).
Einige Vorträge
  • A Propp-Wilson algorithm for quantum equilibrium states. 2012 LMS Midlands Regional Meeting & Workshop on Quantum Probabilistic Symmetries, Aberystwyth, Wales. 6.9.2012.
  • Exaktes "Sampling" ohne "Sample": Ein Propp-Wilson Algorithmus für quantenmechanische Gleichgewichtszusände. Bielefeld, Kollquium Mathematische Physik, 11.7.2011.
  • Auch Quanten sind vergesslich. Klassische und Quanten-Markovketten. Universität Ulm, 2.7.2009.
  • Stochastic dynamical decoupling: How to slow down unwanted changes with multiple activities. TULKA in Tübingen, 20.11.2008.