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Quantenwahrscheinlichkeitstheorie
Stellen Sie sich vor, Sie werfen einen Würfel und erhalten eine 2,5 -
Es ist ein ganz normaler Würfel, auf seinen Seiten stehen die Zahlen 1 bis 6.
In unserer Alltagswelt werden wir das bis auf weiteres nicht erleben, aber in
der Welt der Quantenmechanik schon. Die
berühmteste Illustration für diese Eigentümlichkeit der Quantenmechanik
ist wohl Schrödingers Katze, ein Gedankenexperiment: Eine Katze ist tot oder lebendig.
Nach den Regeln
der Quantenmechanik aber kann sie in einen Zustand zwischen Leben und Tod gebracht
werden, der in unserer Alltagswelt keine Entsprechung hat, ja über den man in
der Alltagssprache nicht einmal sinnvoll sprechen kann.
Mit Katzen sind solche Zustände auf lange Sicht nicht herstellbar, vielleicht sogar nie
– glücklicherweise. Im Mikrokosmos aber ist sieht das ganz anders aus:
Photonen, Elektronen und andere Bausteine der Materie lassen sich ständig in solchen
Zuständen beobachten. Will man ihr zufälliges Verhalten beschreiben, so ist es nicht
mehr damit getan festzustellen, dass sich ein solches Teilchen in einem unterteilten
Kasten mit der Wahrscheinlichkeit
0,3 in der rechten Hälfte, also mit der Gegenwahrscheinlichkeit 0,7 in der linken
Hälfte aufhält. Auch quantenmechanischen Zustände zwischen
rechts und links müssen berücksichtigt werden.
Eine ausführlichere Diskussion dieser Eigentümlichkeit der
Quantenmechanik findet sich
hier (94KB)
und, etwas mathematischer,
hier (242KB).
Die mathematische Beschreibung solchen Verhaltens erfordert eine
verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitstheorie, die
Quanten-Wahrscheinlichkeitstheorie oder
Nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie .
Die Entwicklung dieser mathematischen Theorie und ihre Anwendung auf physikalische Modelle
steht im Zentrum unseres Interesses. Das Pendeln zwischen reiner Mathematik und konkreten
physikalischen Anwendungen macht den besonderen Reiz dieses Gebietes aus.
Mathematische Standortbestimmung
Operatoralgebren stellen einen geeigneten mathematischen Rahmen zur
Verfügung, der es erlaubt, klassische und quantenmechanische Phänomene
gemeinsam zu behandeln. Früher oder später formulieren wir daher unsere
Resultate in
dieser Sprache. Unsere mathematischen Werkzeuge sind also vor allem
funktionalanalytischer Natur. Darum herum sind eine Reihe weiterer
mathematischer Gebiete für unsere Arbeit wichtig. Unsere mathematische Landkarte
sieht etwa folgendermaßen aus:
Innerhalb der Quanten-Wahrscheinlichkeitstheorie stehen Quanten-Markoff-Prozesse
im Zentrum unseres Interesses. Wichtige Schlüsselwörter sind: Kodierungstheorie,
Asymptotisches Verhalten, Ergodentheorie, vollständig positive Operatoren,
(Quanten-) stochastische Differentialgleichungen, Filter- und Vorhersage,
wiederholte Quantenmessung, Quantenrauschen, Anwendungen in der Quantenoptik, offene
Quantensysteme, Micro-Maser.
Einführungen in verschiedene Aspekte unserer mathematischen Arbeit finden sich in
folgenden Texten:
B. Kümmerer:
Quantum Markov Processes and Applications in Physics.
In O. Barndorff-Nielsen, U. Franz, R. Gohm, B. Kümmerer,
S. Thorbjørnsen: Quantum Independent Increment Processes
II, Springer Lecture Notes in Mathematics 1866, 2006, 259-330.
B. Kümmerer: Quantum Markov Processes.
In A. Buchleitner and K. Hornberger (Eds.): Coherent
Evolution in Noisy Enviroments.
Springer Lecture Notes in Physics, Vol. 611. (2002),
139 - 198.
B. Kümmerer: Stationary Processes in Quantum Probability.
In S. Attal, M. Lindsay (Eds.):
Quantum Probability Communications XI,
World Scientific 2003,
273 - 304.
Publikationen nach Themen
Einführungen in verschiedenen Aspekte der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie:
[Kue06]
[Kue03]
[Kue02]
[KM98]
[Kue88]
Ergodentheorie von Quantentrajektorien:
[MK06]
[MK04]
[MK03]
[BMK03]
Quanten-Markov-Prozesse in der Physik:
[LKM03]
[HHKKR03]
[WBKM00]
[Kue84]
[KS83]
Streutheorie für Quanten-Markov-Prozesse
[GKL06]
[WBKM00]
[KM00]
Grundlagen der Quantenmechanik:
[AGKKMW02]
[KM98]
Stochastische Prozesse auf der Algebra der kanonischen Vertauschungsrelationen
[HHKKR02]
[HK01]
Weißes Rauschen und stochastische Integration
[HHKBK02]
[HKK98]
[Kur98]
[KS92]
Freies und q-weißes Rauschen
[Kue98]
[BKS97]
[KS92]
Struktur von Quanten-Markov-Prozessen
[Kue98]
[Kue87]
[KM87]
[Kue85.3]
[Kue85.2]
[Kue85.1]
Unitäre Dilatationen:
[KS85]
Vollständig positive Operatoren:
[KM07]
[Kue85.3]
[GK82]
Ergodensätze für vollständig positive Opeatoren
[KN79]
[Kue78]
Publikationen seit 2000
R. Gohm, B. Kümmerer, T. Lang: Noncommutative Symbolic Coding.
J. Ergodic Theory and Dynamical Systems 26 (2006), 1521 - 1548.
H. Maassen, B. Kümmerer: Purification of quantum trajectories. In
Denteneer, den Hollander, Verbitskiy (Eds.): Dynamics & Stochastics ,
IMS Lecture
Notes-Monograph Series
Vol 48 (2006), 252-261. (quant-ph/0505084).
B.Kümmerer:
Quantum Markov Processes and Applications in Physics.
In O. Barndorff-Nielsen, U. Franz, R. Gohm, B. Kümmerer,
S. Thorbjørnsen: Quantum Independent Increment Processes
II , Springer Lecture Notes in Mathematics 1866, 2006, 259-330.
B. Kümmerer, H. Maassen: A pathwise ergodic theorem for
quantum trajectories.
J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004) 11889-11896.
quant-ph/0406213.
L. Bouten, B. Kümmerer, H. Maassen: Constructing the Davies
Process of Resonance Fluorescence with
Quantum Stochastic Calculus. Optics and Spectroscopy Vol.
94, No. 6 (2003), 911 - 919.
B. Kümmerer, H. Maassen: An Ergodic Theorem for Quantum
Counting Processes. J. Phys. A:
Math Gen. 36 (2003), 2155 - 2161.
B. Kümmerer: Stationary Processes in Quantum Probability. In
S. Attal, M. Lindsay (Eds.):
Quantum Probability Communications XI ,
World Scientific 2003,
273 - 304.
B. Kümmerer: Quantum Markov Processes.
In A. Buchleitner and K. Hornberger (Eds.): Coherent
Evolution in Noisy Enviroments,
Springer Lecture Notes in Physics, Vol. 611. (2002),
139 - 198.
M. D'Ariano, R. D. Gill, M. Keyl, B. Kümmerer,
H. Maassen, R.F. Werner
The Quantum Monty Hall Problem. Quant. Inf. Comp. 2 (2002),
355 - 362.
J. Hellmich, R. Honegger, C. Köstler, B. Kümmerer,
A. Rieckers: Couplings to Classical and Non-Classical
Squeezed White Noise as Stationary Markov Processes.
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 28.1 (2002), 1 - 31.
C. Hertfelder, B. Kümmerer: Classical analogs of quasifree
quantum stochastic processes given by stochastic states of the
quantized electromagnetic field. Journ. Math. Phys. 42.3 (2001),
1006 - 1017.
T. Wellens, A. Buchleitner; B. Kümmerer, H. Maassen: Quantum
state preparation via asymptotic completeness.
Phys. Rev. Letters 85 (2000), 3361 - 3364.
B. Kümmerer, H. Maassen:
Scattering Theory for Generalized Markov Chains. Infinite
Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related
Topics, Vol. 3 (2000).
Ausgewählte frühere Publikationen
J. Hellmich, K. Köstler, B. Kümmerer:
Stationary quantum Markov processes as solutions of stochastic
differential equations. In Quantum Probability, Banach
Center Publications 43 (1998), 217 - 229.
B. Kümmerer
Quantum Markov processes driven by white noise. In H. Heyer, J. Marion (Eds.):
Analysis on Infinite Dimensional Lie Groups and Algebras,
World Scientific 1998, 216 - 228.
B. Kümmerer, H. Maassen:
Elements of quantum probability. In Quantum Probability
Communications X, World Scientific 1998, 73 - 100.
M. Bozejko, B. Kümmerer, R. Speicher:
q-Gaussian Processes: Non-commutative and Classical Aspects.
Commun. Math. Phys. 185 (1997), 129 - 154.
B. Kümmerer, R. Speicher:
Stochastic Integration on the Cuntz Algebra O∞.
Journal Funct. Anal. 103 (1992), 372 - 408.
B. Kümmerer:
Survey on a Theory of Non-Commutative Stationary Markov
Processes. In L.Accardi, W.v.Waldenfels (Eds.):
Quantum Probability and Applications
III, Proceedings Oberwolfach 1987, , Springer Lecture Notes in
Mathematics 1303 (1988) ,154-182.
B. Kümmerer, H. Maassen:
The Essentially Commutative Dilations of Dynamical
Semigroups on Mn. Commun. Math. Phys. 109 (1987),
1-22.
B. Kümmerer:
On the Structure of Markov Dilations on W*-Algebras.
In L. Accardi, W. von Waldenfels (Eds.): Quantum
Probability and Applications II, Heidelberg 1984,
Lecture Notes in Mathematics 1136, Springer Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1985, 318-331.
B. Kümmerer, W. Schröder:
A New Construction of Unitary Dilations: Singular
Coupling to White Noise. In L. Accardi, W. von Waldenfels
(Eds.): Quantum Probability and Applications II,
Heidelberg 1984, Lecture Notes in Mathematics 1136,
Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1985,
332-347.
B. Kümmerer:
Markov Dilations on the 2x2-Matrices. In H. Araki, C.C.
Moore, S. Stratila, D. Voiculescu (Eds.): Operator
Algebras and their Connections with Topology and
Ergodic Theory, Busteni 1983, Lecture Notes in
Mathematics 1132, Springer Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1985, 312-323.
B. Kümmerer:
Markov Dilations on W*-Algebras. Journal Funct. Anal.
63 (1985), 139-177.
B. Kümmerer:
Examples of Markov Dilations over the 2x2-Matrices. In
L. Accardi, A. Frigerio, V. Gorini (Eds.): Quantum
Probability and Applications to the Quantum Theory of
Irreversible Processes, Villa Mondragone 1982, Lecture
Notes in Mathematics 1055, Springer Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York 1984, 228-244.
B. Kümmerer, W. Schröder:
A Markov Dilation of a Non-Quasifree Bloch Evolution.
Comm. Math. Phys. 90 (1983), 251-262.
U. Groh, B. Kümmerer
Bibounded Operators on W*-Algebras. Math. Scand. 50
(1982), 269-285.
B. Kümmerer, R. Nagel:
Mean Ergodic Semigroups on W*-Algebras. Acta Sci. Math.
41 (1979), 151-159.
B. Kümmerer:
A Non-Commutative Individual Ergodic Theorem. Inventiones
math. 46 (1978), 139-145.
Einge Workshops und Kooperationen
