Seminar Differentialgeometrie, WS 08/09 I Geodaetische und das theorema egregium Geodaetische sind lokal kuerzeste Kurven. Ihr Verlauf charakterisiert gekruemmte Flaechen. Durch die Diskussion von Geodaeteischen werden wir darauf gefuehrt werden, dass die Gauss-Kruemmung von Flaechen ganz ohne den umgebenden Raum bestimmt werden kann -- man spricht daher auch von der Gauss-Kruemmung als einer Groesse der innerern Geometrie. Dieser Teil kann beispielsweise nach der Fortsetzung des Vorlesungsskripts von mir gehalten werden, siehe http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/lehrmaterial/SS2006/DiffGeo/dg.ps Daher sollten keine unerwarteten Schwierigkeiten auftauchen. Die Ergebnisse finden sich auch in den meisten Differentialgeometrie-Buechern: Baer, DoCarmo, etc. 1. Geodaetische und erste Variation (Laura Stroeter) Geodaetische sind einerseits Kurven, die so ungekruemmt wie moeglich in einer Flaeche verlaufen; physikalisch entsprechen sie einer unbeschleunigten Bewegung auf einer Flaeche. Andererseits sind es lokal kuerzeste Kurven. Diese beiden Beschreibungen sollen dargestellt werden. z.B. Skript III 1.1 + 1.2, ev. noch Beispiele 2. Christoffel-Symbole und die Differentialgleichung fuer Geodaetische (Volker Brueckmann, v.brueckmann gmx.de) Geodaetische erfuellen eine gewoehnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen folgen. z.B. Skript III 1.3 + 1.4 3. Hyperflaechen-Gleichungen und das theorema egregium (Roland Brandau) Fuer Hyperflaechen kann man Gleichungen herleiten, die erste und zweite Fundamentalform von Flaechen erfuellen muessen. Umgekehrt ist deren Gueltigkeit sogar notwendig dafuer, dass Flaechen mit diesen Fundamentalformen tatsaechlich existieren ("Integrabilitaetsbedingungen"). Ziel des Vortrags ist die Herleitung von Gauss' theorema egregium, das besagt, dass die Gauss-Kruemmung einer Flaeche bereits durch die erste Fundamentalform festgelegt ist, d.h. allein zur inneren Geometrie gehoert. z.B. Skript III 2.1 - 2.3 II Hyperbolische Geometrie Nach dem theorema egregium erklaert eine erste Fundamentalform bereits die innere Geometrie. Das beruehmteste Beispiel hierfuer ist der hyperbolische Raum, der nach einem Satz von Hilbert nicht als Flaeche im R^3 dargestellt werden kann. Auch fuer diesen Teil gibt es Teile von Skripten von mir, siehe http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de:8080/Math-Net/Lehrveranstaltungen /Lehrmaterial/WS2004-2005/RiemGeo/rg.ps Allerdings schliessen Terminologie und Voraussetzungen nicht exakt an die Differentialgeometrie-Vorlesung von Herrn Reif an, so dass hier sinnvolle Alternativen gemeinsam mit mir ueberlegt werden muessen. Weiterhin sind z.B. folgende Buecher nuetzlich [GHL] = Gallot/Hulin/Lafontaine: Riemannian Geometry [dC] doCarmo: Riemannian Geometry weitere Literatur ueber den hyperbolischen Raum muss ich noch raussuchen 4. Riemannsche Metriken (Tristan Alex) Diese Bilinearformen verallgemeinern die erste Fundamentalform fuer beliebige Gebiete oder auch auf Mannigfaltigkeiten. Dadurch sind abstrakt Dinge erklaert wie Winkel, Laengen von Kurven, Volumina. Wichtig fuer das folgende ist auch der Begriff der Isometrie, also einer laengentreuen Abbildung. Literatur: Skript II 1.1-1.3, 1.5 (auf semi-Riemannsch verzichten!), [GHL] II A 2.1 - 2.8, [dC] 1.2 Moegliche Anwendung: Klassifikation von 2-Tori Ziel des Vortrags ist die Klassifikation aller flachen 2-Tori bis auf Isometrie. Dabei heisst ein Torus flach, wenn er lokal isometrisch zur Ebene ist. Quelle: z.B. Skript II 1.4, [GHL] 5. Der hyperbolische Raum im Hyperboloid-Modell (Miroslav Vrzina) Der hyperbolische Raum H^n soll als eine Teilmenge des R^{n+1}, die sogenannte Pseudosphaere, mit einer speziellen Riemannschen Metrik eingefuehrt werden. Die Isometrien des hyperbolischen Raums koennen in diesem Modell einfach angegeben werden, was eine einfache Berechnung von Geodaetischen und von Laengen ermoeglichen wird. Literatur: Skript II 6.1 6. Geodaetische im hyperbolischen Raum (Sebastian Stammler) Geodaetische koennen durch ein explizites Argument bestimmt werden. Sie erlauben es, zu verstehen, wie sich der hyperbolische Raum vom euklidischen Raum unterscheidet. Es waere schoen, wenn hier auch die anderen Modelle des hyperbolischen Raumes, das Poincare und Klein-Modell angesprochen werden koennten. Literatur: Skript II 6.2 + 6.3 Fuer die Vortraege 5 und 6 zum hyperbolischen Raum kommen folgende ergaenzende Themen in Betracht: a) Zur Kruemmung des hyperbolischen Raumes und allgemein zur Kruemmung Riemannscher Mannigfaltigkeiten (koennte auch im Vortrag 4. erwaehnt werden). b) Konstruktion hyperbolischer Flaechen Kennt man die Trigonometrie der hyperbolischen Ebene, so ist es leicht, hyperbolische Flaechen aus Sechsecken zu verkleben. Dieser Vortrag koennte an 6. anschliessen. Literatur: Skript II 6.4 Buser: Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces c) Pflasterungen mit platonischen Polyedern.