Aufgabe der DARSTELLENDEN Geometrie

Das Ziel der Darstellenden Geometrie ist, Bilder von räumlichen Gegenständen wie Häuser, Maschinenteile ... in einer Zeichenebene herzustellen. Dabei verwendet man hauptsächlich zwei Methoden:

I) Parallelprojektion.
Hierbei projiziert man die Objekte (Punkte, Kanten, Kurven,...) mit Hilfe paralleler Strahlen auf eine Ebene (Bildtafel). Steht die Bildtafel senkrecht zu den Projektionsstrahlen, so spricht man von senkrechter Parallelprojektion im anderen Fall von schiefer Parallelprojektion. Projiziert man schief auf eine horizontale Ebene (z.B. x-y-Ebene), so nennt man diese Art Vogelperspektive. Bei einer Kavaliersperspektive projiziert man schief auf eine senkrecht stehende Ebene.

**Abbildung:** Senkrechte PARALLELprojektion bzw. Vogelperspektive eines Würfels
$\begin{figure}\centerline{ \epsfxsize=7cm \epsffile{quaderps.eps} \hspace{1cm} \epsfxsize=7cm \epsffile{quadervs.eps}}\end{figure}$

II) Zentralprojektion.
Dem Sehen ähnlicher ist die Zentralprojektion. Hier werden die Objekte mit Hilfe von durch einen Punkt Z (das Zentrum oder der Augpunkt) gehende Strahlen zur Abbildung auf einer Bildtafel benutzt.

**Abbildung:** ZENTRALprojektion eines Würfels
$\begin{figure}\centerline{ \epsfxsize=8cm \epsffile{quaderzs.eps}}\end{figure}$

**Abbildung:** PARALLELprojektion einer Häuserreihe
$\begin{figure}\centerline{ \epsfxsize=10cm \epsffile{dorf1.eps}}\vspace{-3mm} \end{figure}$

**Abbildung:** ZENTRALprojektion einer Häuserreihe
$\begin{figure}\centerline{ \epsfxsize=10cm \epsffile{dorf2.eps}}\vspace{-3mm} \end{figure}$

Die Gestaltungsmöglichkeiten bei Zentralprojektion ist durch die Verwendung der zusätzlichen Parameter Augpunkt und Distanz (des Augpunktes zur Bildtafel) vielfältiger. Arbeitet man mit Zirkel und Lineal, so ist allerdings der Aufwand zur Erstellung einer Zeichnung wesentlich größer. Auch bei Verwendung eines Rechners muß man den Vorteil von ''schönen'' Bildern durch eine etwas längere Rechenzeit erkaufen, da eine Zentralprojektion, im Gegensatz zu einer Parallelprojektion, nicht durch eine lineare Abbildung beschrieben werden kann. In der Technik gibt man i.a. der senkrechten Parallelprojektion den Vorzug, da bei Parallelprojektionen Proportionen (Teilverhältnisse) erhalten bleiben. Die meiste Zeit bei der Darstellung von Kurven und Flächen nehmen allerdigs sog. Hiddenline-Algorithmen in Anspruch. Sie sorgen dafür, dass verdeckte Kurven nicht gezeichnet werden.