Energie- und Drehimpulssatz bei Bewegungen von Massenpunkten um ein Zentrum

Gerhard W. Bruhn, TU Darmstadt

 

Manche Laien irritiert es sehr, dass für die Bewegung von Massenpunkten mehrere Hauptsätze, z.B. der Energiesatz und der Drehimpulssatz, gleichzeitig gelten sollen, s. z.B. [2]. Dahinter werden dann irgendwelche dunklen Widersprüche vermutet, die zu wilden Spekulationen bis hin zur "Konstruktion" von Perpetuum-Mobile-Maschinen Anlass geben.

Im folgenden werden Energiesatz und Drehimpulssatz für Bewegungen eines Massenpunktes aus dessen Newtonscher Bewegungsgleichung hergeleitet. Dabei zeigt sich, dass keineswegs immer Erhaltungssätze für Energie und Drehimpuls gelten müssen; das hängt von der jeweiligen Systemabgrenzung ab. Es zeigt sich aber auch, dass die angeblichen Widersprüche dadurch zustande kommen, dass deren Urheber die Freiheitsgrade einer ebenen Massenpunktsbewegung nicht verstanden haben.

 

1. Zentralkraftbewegungen

Zentralkräfte F(x,t) zeigen immer auf einen festen Punkt xo, in den wir den Ursprung O des Koordinatensystems legen:

(1.1)                                        F(x,t) = x/r f(x,t) .

Newtons Bewegungsgleichung für eine feste punktförmige Masse m lautet dann:   

(1.2)                            m x·· = x/r f(x,t)            mit            r = | x | .

Vektormultiplikation mit x liefert

(1.3)                            d/dt (m x × x·)= m x × x·· = 0 ,

also 

(1.4)                                                     m x × x· = C

mit einem konstanten Vektor C. Damit hat man den

Erhaltungssatz des Drehimpulses:

Der Drehimpuls eines Massenpunktes m bleibt genau dann konstant, wenn die auf m wirkende Kraft m x·· =  F eine Zentralkraft ist.

Folgerung: Zentralkraftbewegungen verlaufen stets in einer Ebene durch O senkrecht zu dem (konstanten) Drehimpulsvektor C.

Denn aus (1.4) folgt

C · x = m (x × x··) · x = 0 .

Wir geben der z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems die Richtung des Drehimpulsvektors. In der dazu senkrechten x,y-Ebene, der Bewegungsebene, seien (r,φ) Polarkoordinaten. Dann folgt für die Punkte x der Bewegungsebene die Darstellung

(1.5)                                        x = r e             mit            e = (cos φ, sin φ).

Differentiation von e nach φ liefert den zu e senkrechten Einheitsvektor

(1.6)                                                    e' = (– sin φ, cos φ).

Für die Geschwindigkeit einer Zentralbewegung erhält man somit

(1.7)                             x· = r·e + r φ· e'            und             x· ² = r· ² + r² φ· ².

Das ergibt

                                                x × x· = r² φ· e × e' = r² φ· k.

Damit geht der Erhaltungssatz des Drehimpulses über in den bekannten Flächensatz

(1.8)                                                    r² φ· = C = |C| ,

denn r² φ· ist die pro Zeiteinheit vom Bahnvektor x überstrichene Fläche, die demnach konstant ist.

Für die kinetische Energie

(1.9)                                        T = m/2 x·² = m/2 (r· ² + r² φ· ²).

gilt als Folgerung aus der Newtonschen Bewegungsgleichung m x·· = F der allgemeine

Energiesatz:

Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der von der Kraft F geleisteten Arbeit:

(1.10)                                                   dT/dt = F · x·.

In integrierter Form heißt das, dass zwischen beliebigen Zeitpunkten to, t1 längs einer Bahn x(t) die Beziehung

(1.11)               T1 – To = ( m/2 x· ²) | t=t1 – ( m/2 x· ²) | t=to =  ∫ t = to…t1 F · x· dt

besteht.

 

Folgerung:

Bei der Überführung der Masse m mit dem Drehimpuls C von der Kreisbahn r= ro in die Kreisbahn r = r1 mit Hilfe der Zentralkraft (1) leistet die Zentralkraft die Arbeit

(1.12)                                       T1 – To = m/2 C² ( 1/r1² 1/ro² ) .

Denn längs der Bahn gilt Drehimpulserhaltung, d.h. nach (1.8)

ro² φ·o = C = r1² φ·1 ,

außerdem für die Kreisbahnen r = ro und r = r1

r·o = r·1 = 0 ,

somit wegen (1.9)

            T1 – To = ( m/2 x· ²) | t=t1 – ( m/2 x· ²) | t=to = m/2 [(r² φ·)| t=t1 – (r² φ·)| t=to = m/2 C² ( 1/r1² 1/ro² ) .

 

2. Beispiel 1: Zentralkraft mit zeitunabhängigem Potential

Dieses Beispiel wird ausführlich auch in [1], S. 85 ff. behandelt. Notwendig und hinreichend für die Existenz eines Potentials V der Zentralkraft (1.1) ist die Bedingung

(2.1)                                        rot F = rot ( x/r f(x)) = 0 .

Das ergibt ausdifferenziert

rot ( x/r f(x)) = – x/r × grad f(x) = 0 ,

d.h. f(x) kann nur von r = |x| abhängen. Somit haben wir

(2.2)                                                     F = – grad V(r) .

Diese Bedingung ergibt für das Arbeitsintegral in (1.11)

t = to…t1 F · x· dt = – ∫ x = xox1 grad V(r) · dx = – ∫ r = ro…r1 V'(r) dr = V(ro) – V(r1) .

Der Energiesatz (1.11) nimmt deswegen die Form eines Energieerhaltungssatzes an:

(2.3)                                                     m/2 x·² + V(r) = E

mit einer Konstanten E, oder wegen (1.7) bei Beachtung des Drehimpulserhaltungssatzes

(2.4)                                         m/2 (r·² + C/) + V(r) = E.

Die radiale Bewegung r = r(t) erfolgt somit unter Einfluss des "Effektiv-Potentials"

Veff(r) = V(r) + m/2 C/.

Man beachte, dass das Effektivpotential von der Drehimpulskonstante C abhängt.

Der Energiesatz lautet jetzt

(2.4')                                                   m/2 r·² + Veff(r) = E .

Punkte der Bahn mit r· = 0 heißen Umkehrpunkte. Sie genügen der Bedingung

(2.5)                                                     Veff(r) = E .

Eine Bewegung ist nur in r-Bereichen möglich, in denen

(2.6)                                                                 Veff(r) < E

gilt. Diese werden i.a. durch Umkehrpunkte nach oben und unten begrenzt.

Die Differentialgleichung (2.4') kann nach dt/dr aufgelöst und integriert werden. Man erhält für die Anfangsbedingung r(0) = ro

(2.7)                                                                 t(r) = 2/m   ∫ ρ = ro ... r   [E – Veff(ρ) ]– ½ dρ,

die den Bewegungsablauf r = r(t) bestimmt.

Bemerkung: Es gibt Laien, die der Meinung sind, dass Drehimpuls- und Energieerhaltung nicht miteinander vereinbar seien, s. z.B. [2], [3]. An dem obigen Beispiel sieht man jedoch, dass bei Zentralkraftbewegungen mit Potential der Energieerhaltungssatz (2.7) die radiale Bewegung r = r(t) bestimmt, während der Drehimpulssatz in Gestalt des Flächensatzes (1.8) bei bekanntem r(t) durch die Differentialgleichung

(2.8)                                                                             φ· = C/r²(t)

die Winkelgeschwindigkeit der Umlaufbewegung bestimmt. Hier ist also jeder der beiden Erhaltungssätze für einen der beiden Freiheitsgrade (radial bzw. azimutal) zuständig. Von einem Widerspruch kann daher nicht die Rede sein.

 

3. Beispiel 2

Eine in der x,y-Ebene an einem Faden um die z-Achse rotierende Masse m wird von einer der Schwerkraft unterworfenen konstanten Masse M durch Umlenkung der Schwerkraft ins Rotationszentrum gezogen. Die Fadenlänge ist L.

Die Zentralkraft F = – M(g+r··) wirkt auf m in radialer Richtung:

(3.1)                                                     m x·· = – M (g+r·· ) x/r

Durch Übergang zu Polarkoordinaten x = r e, e = (cos φ, sin φ) folgt

(3.2)                                                     x· = r· e + r φ· e'

und

x·· = r·· e + (2 r· φ· + r φ··) e' + r φ· ²e'' = (r·· – r φ·²) e + 1/r (r² φ·)· e'

mit   e·e' = ½ (e·e)' = ½ 1' = 0. Das ergibt die Bewegungsgleichung

(3.3)                            m [(r·· – r φ·²) e + 1/r (r²φ·)· e'] = – M(g+r··) e .

Durch Skalarmultiplikation mit e' folgt in Übereinstimmung mit Abschnitt 1 Drehimpulserhaltung

(3.4)                                                    r² φ· = ro² φ·o = C

und durch Skalarmultiplikation mit e

m (r·· – r φ·²) = – M (g+r··)

oder bei Substitution des konstanten Drehimpulses

(3.5)                                        (M+m) r·· mC²/= – Mg .

Durch Multiplikation mit r· erhält man Energieerhaltung in der Form

(3.6)                                         ½ (m+M) r·² + ½ mC²/ + Mg r = E

mit konstantem E, oder mit dem Effektivpotential Veff(r) = ½ mC²/ + Mg r

(3.6')                                         ½ (m+M) r·² + Veff(r) = E .

Bemerkung: Man sieht auch hier wie in Beispiel 1, dass bei Zentralkraftbewegungen mit Potential der Energieerhaltungssatz die radiale Bewegung r = r(t) bestimmt, während der Drehimpulssatz in Gestalt des Flächensatzes (1.8) bei bekanntem r(t) die Winkelgeschwindigkeit der Umlaufbewegung bestimmt. Auch hier kann also von einem Widerspruch zwischen den beiden Erhaltungssätze keine Rede sein.

 

4. Beispiel 3

Es gibt Bewegungen um ein Zentrum O, bei denen die wirksame Kraft keine Zentralkraft ist:
An einer (massenlosen) Schnur bewegt sich ein Massenpunkt um einen (kreisrunden) Pfahl in einer Ebene senkrecht zum Pfahl, wobei die Schnur sich auf- oder abwickelt. Wie erfolgt die Bewegung?

Daten

Pfahlradius R
Pfahlzentrum O = (0,0)
Anfangslänge der Schnur L
Zeit t
Position des Massenpunktes x = x(t)
Berührungspunkt der Schnur y = y (t) = R (cos φ, sin φ) mit φ = φ(t) und φ(0) = 0
Aufgewickelter Teil der Schnur R φ
Länge der freien Schnur L – R φ


Rechnung

Der freie Teil der Schnur berührt im Punkt y den Pfahl, daher gilt x – y  |  y. Es folgt

x – y = (L – R φ) (– sin φ, cos φ),

somit

    x = y + (x–y) = R (cos φ, sin φ) + (L – Rφ) (– sin φ, cos φ)

und

    dx/ = R (– sin φ, cos φ) – R (– sin φ, cos φ) – (L – R φ) (cos φ, sin φ)

                   = – (L – R φ) (cos φ, sin φ)   || y und  |  x – y .

Die Kettenregel ergibt dann auch

dx/dt = dx/ /dt = – /dt (L – R φ) (cos φ, sin φ)   ||   y und    |  x – y .

Die Bewegung erfolgt somit um den momentanen Drehpunkt y in Richtung x – y.

Die Zwangskraft F hat die Richtung der freien Schnur und ist daher  |  dx/dt, also

F · dx/dt = 0   und      x/dt² · dx/dt = 0 .

Es folgt die

Konstanz der kinetischen Energie

(dx/dt)² = const = (dx/dt)²(0).

somit  | dx/dt | = /dt (L – R φ) = const = L /dt(0).

 

Verhalten des Drehimpulses um den Pfahlmittelpunkt O = (0,0)

x × dx/dt = [R (cos φ, sin φ) + (L – R φ) (– sin φ, cos φ) ] × (cos φ, sin φ) [– /dt (L – R φ)]

    = [– /dt (L – R φ)] (L – R φ) (– sin φ, cos φ)] × (cos φ, sin φ)

    = [– /dt (L – R φ)] (L – R φ) k = – L /dt(0) (L – R φ) k      mit   k = (0,0,1) .

 

Der Drehimpuls um O ist nicht konstant, weil die Zwangskraft F bezüglich x–0 ein Drehmoment ausübt, m.a.W., weil die Zwangskraft F keine Zentralkraft ist (vgl. Abschnitt 1).

 

5. Der Stoß elastischer Kugeln

Das einfachste Beispiel zweier gleichzeitig gültiger Erhaltungssätze findet man beim geraden Stoß elastischer Kugeln.

Zwei (Stahl-)Kugeln gleicher Masse m treffen mit den Geschwindigkeiten u1 und u2 aufeinander. (eindimensional). Nach dem Stoß haben die Kugeln die Geschwindigkeiten v1 bzw. v2.

Bei dem Stoß bleiben Impuls und Energie erhalten.

Impuls:                         m(u1 + u2) = m(v1 + v2) .

Energie:                 ½ m(u1² + u2²) = ½ m(v1² + v2²) .

Die einfachste Lösung, dass beide Kugeln ihre Geschwindigkeiten beibehalten, geht physikalisch nicht, weil dazu die schnellere Kugel die langsamere durchdringen müsste. Aber der Austausch der Geschwindigkeiten ist auch eine Lösung, wie man an der Symmetrie der beiden Erhaltungssätze sofort erkennt, also:

                                v1 = u2         und         v2 = u1 .

Die Kugeln prallen einfach voneinander ab; ein merkwürdiger Anblick. Dieser Effekt ist als Spielzeug käuflich.

               

Literatur

[1]             Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik, 4. Auflage, VCH 1993

[2]            Georges Bourbaki: Über Wirklichkeit und Wahrheit in der Physik,

http://www.bourbaki.de/a01.htm

[3]            Gerhard W. Bruhn: Bourbaki contra Newton,

http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/BCONTRAN.HTM