Gibt es elektrische Skalar- oder Longitudinal-Wellen?

Gerhard W. Bruhn, Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt

Übersicht

K. Meyl hat in verschiedenen Veröffentlichungen die Ansicht vertreten, neben den bekannten transversalen elektromagnetischen Wellen gäbe es elektrische Longitudinalwellen, die er Skalarwellen nennt, gekennzeichnet durch die Bedingung der Rotationsfreiheit des Feldes E (Abschnitt 1). Meyl stützt sich dabei auf die Wellengleichung des elektrischen Feldvektors E.

Allerdings ist bekannt, dass die Wellengleichung des elektrischen Feldvektors E keine direkte experimentelle Rechtfertigung hat (Abschnitt 2), sie ist nur eine Folgerung aus den eigentlichen Grundgleichungen der Elektrodynamik, den Maxwell-Gleichungen, die seit Faraday und Maxwell eine umfassende experimentelle und von der Praxis bestätigte Basis besitzen. Nicht jede Lösung der Wellengleichung (des elektrischen Feldvektors E) führt zu einer Lösung der Maxwell-Gleichungen zurück, es gibt "Geisterlösungen" der Wellengleichung, denen keine Lösung der Maxwell-Gleichungen entspricht. Deswegen ist für Lösungen der Wellengleichung eine Einsetzprobe in die Maxwell-Gleichungen unbedingt erforderlich.

Meyl behauptet, elektrische Longitudinalwellen existierten in der Luft und sogar im Vakuum, allgemein in ladungsfreien homogenen Medien. Weil die Ladungen (bei konstanter Dielektrizitätskonstante) die Quellen des elektrischen Feldvektors sind, bedeutet Ladungsfreiheit auch Quellfreiheit. Demnach muss der elektrische Feldvektor im Fall von Longitudinalwellen zugleich rotations- und quellfrei sein. Man kann aber leicht einsehen (Abschnitt 3), dass sich die Wellengleichung in diesem Fall auf das Verschwinden der 2. Zeitableitung des Feldvektors reduziert. Dies gestattet nur einen sehr einfachen Lösungstyp, der keine Schwingungsvorgänge beschreiben kann. Deshalb können in ladungsfreien homogenen Medien (wie normale Luft oder Vakuum) keine Skalarwellen existieren.  Anders ausgedrückt: Die von Meyl konstruierten Skalarwellen-Lösungen der Wellengleichung bestehen die Einsetzprobe in die Maxwell-Gleichungen nicht.

Im folgenden Abschnitt 4 wird auf der Grundlage der Maxwell-Gleichungen die allgemeinere Frage diskutiert, ob der Verzicht auf die Ladungsfreiheit Longitudinalwellen ermöglicht. Es erweist sich zunächst, dass das magnetische Feld H zeitlich konstant bleiben muss. Eine etwaige Skalarwelle wäre rein elektrisch. Dafür aber ergibt sich (unter Hinzunahme des Ohmschen Gesetzes für die Ladungsbewegung), dass auch elektrische Schwingungen trotz beweglicher Ladungsverteilungen nicht möglich sind: Skalarwellen existieren nicht.

Der eigentliche Grund für die Nichtexistenz von Skalarwellen unter den Bedingungen der Abschnitte 3 und 4 besteht darin, dass die Longitudinalforderung eine zu starke Einschränkung für die Lösungen der Maxwell-Gleichungen bedeutet, weil zeitliche Änderungen des Magnetfeldes und insbesondere Schwingungsvorgänge des Magnetfeldes direkt unterdrückt werden, was dann auch Schwingungen des elektrischen Feldes verhindert.

Abschnitt 5 geht auf die Unmöglichkeit von überlichtschnellen Lösungen der homogenen Wellengleichung ein.

In Abschnitt 6 wird auf einen hartnäckigen Fehler in K. Meyls Veröffentlichungen hingewiesen, der eine homogene in eine inhomogene Wellengleichung verwandelt.

1. Begriffsbestimmungen

Longitudinalwellen sind Wellen, bei denen die Schwingungsrichtung (der schwingenden Teilchen, des Schwingungsvektors) mit der Ausbreitungsrichtung übereinstimmt. Im Gegensatz dazu erfolgt bei Transversalwellen die Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. In der Elasto-Mechanik sind beide Wellentypen möglich. Nach Sommerfeld [3], S.102, gilt für elastische Verschiebungen s(x,t) die Differentialgleichung

(1.1)                                        stt = α grad div s + β Δs         mit positiven Konstanten α,β,

was mit grad div s = Δs + rot rot s auch in der Form

(1.1')                           stt= (α+β) grad div s - β rot rot s = (α+β) Δs + β rot rot s,

geschrieben werden kann. Wenn man den trivialen Fall stt = 0 ausschließt, muss mindestens eine der Größen div s  oder rot s ungleich Null sein. Lösungen von (1.1) mit

(1.2)                                                   rot s = 0 

werden Kompressionswellen genannt, während man im Fall

(1.3)                                                   div s = 0

von Scherwellen oder Torsionswellen spricht. Bei Spezialisierung auf ebene Wellen sind Kompressionswellen stets longitudinal, während ebene Scherwellen stets transversal schwingen, vgl. [4], S.172. Man beachte, dass die Festlegung der Fortpflanzungsrichtung für nichtebene Wellen problematisch sein kann.

Für Kompressionswellen erhält man aus (1.1') die Wellengleichung

(1.4)                                                   stt = (α+β)Δs,

während (1.1) für Scherwellen die Wellengleichung

(1.5)                                                   stt =  β Δs

liefert.

2. Scherwellen in der Elektrodynamik

Die Elektrodynamik wird im Fall eines ladungs- und stromfreien  homogenen Mediums (mit konstanten Materialkoeffizienten ε und μ) von der (homogenen) Wellengleichung

(2.1)                ΔE = grad div E - rot rot E = c-2 Ett               (mit der Lichtgeschwindigkeit c; c-2 = εμ).

beherrscht. Dabei ist allerdings zu beachten, dass die Wellengleichung (2.1) keine Grundgleichung der Elektrodynamik ist, sondern vielmehr Folge aus den (homogenen) Maxwell-Gleichungen des elektromagnetischen Feldes (E,H)

(2.2 a,b)                                  rot E = - μHt,                        div E = 0,

(2.3 a,b)                                  rot H = + εEt,                        div H = 0.

Vor diesem Missverständnis der Wellengleichung (2.1) wird in der Literatur gelegentlich (und offenbar nicht ohne Grund) gewarnt. So schreibt z.B. F. Hund in [5], S. 241 f. im Jahr 1946:

"Die Gleichungen (2) <für B=μ H und E bei F. Hund>, die Wellengleichungen  heißen, sind notwendige Folgerungen aus <den Maxwell-Gleichungen> (1)  ;  sie besagen aber weniger als (1). Wegen des sehr einfachen Baues der Gleichungen (2) ... wird man bei der Lösung der Gleichungen (1) so vorgehen, dass man erst Lösungen von (2) sucht und diese Lösungen dann den Gleichungen (1) unterwirft."

Das bedeutet, dass für den Fall eines ladungs- und stromfreien  homogenen Mediums zu der Wellengleichung (2.1) für E stets noch die Gleichung (2.2 b) hinzuzunehmen ist, div E = 0, denn div D = ε div E = ρ  ist die elektrische Ladungsdichte. Somit handelt es sich bei den für die Elektrodynamik gesuchten Lösungen von (2.1) stets um "Scherwellen" oder Transversalwellen im Sinne der Elasto-Mechanik von Abschnitt 1.

3. K. Meyls Skalarwellen in neutralen Medien

K. Meyl macht über das Medium seiner Skalarwellen zwei sich widersprechende Angaben: Einerseits schreibt er am Anfang des Abschnitts Wirbelmodell von [1], analog auch in [2]:

"Solche Longitudinalwellen existieren offensichtlich auch ohne Plasma in der Luft und sogar im Vakuum."

Hieraus folgt, dass ein neutrales Medium, wie Vakuum oder (nichtionisierter) Luft, oder allgemein ein plasmafreien Dielektrikum zu Grunde zu legen ist, d.h. die Ladungsdichte ρ=εdiv E (Gleichung (3) in Meyls Bild 2, s.u.), also auch div E selbst, ist zu Null anzunehmen.

Andererseits findet sich in Meyls Bild 2 die Bedingung "Div E ≠ 0".  

Wir wollen zunächst den wichtigen Fall der ladungsfreien Medien wie Vakuum und Luft betrachten und verschieben die Diskussion der in neutralen Medien nicht erfüllten zweiten Bedingung auf den folgenden Abschnitt. 

K. Meyl hat sich verschiedentlich zu Skalarwellen geäußert, z.B. in [1] und in [2]. In [1] heißt es in der Unterschrift zu Bild 2

 

"Bild 2: Der skalare Anteil der Wellengleichung beschreibt longitudinale elektrische Wellen (Herleitung von Plasmawellen)."

 

Hier wird also eine Identifizierung der Begriffe "skalar" und "longitudinal" vorgenommen. Darüber hinaus wird eine Longitudinalwelle genau im Sinne der Definition in Abschnitt 1 als Lösung der Wellengleichung (2.1) unter der Zusatzbedingung rot E = 0 definiert.

Aus der Gleichung

(2.1)                                        Δ E = grad div E - rot rot E = c-2 Ett    

sieht man unmittelbar, dass bei angenommener Ladungsfreiheit für Longitudinalwellen der schon erwähnte Trivialfall mit div E = 0 und rot E = 0 vorliegt, der

Ett = c2(grad div E - rot rot E) = 0

und den Lösungstyp

(3.1)                                                   E(x,t) = E0(x) + t E1(x)

nach sich zieht. Diese Lösungen kann man nicht als Wellen bezeichnen, sie beschreiben keinen Schwingungsvorgang.

Skalarwellen können in einem neutralen homogenen Medium nicht existieren.

Dies folgt auch aus der Meylschen Rechnung in Bild 2 (ohne "Div E ≠ 0" zu beachten): Man erhält aus ρ/ε = div E = 0 mit E = - grad φ direkt

Δφ= div grad φ = 0,

also nach der rechts neben "Plasmawelle" stehenden Gleichung auch φtt = 0, was analog zu (3.1) nur Lösungen der Form

(3.2)    φ(x,t) = φ0(x) + t φ1(x)       mit  Δφk = 0

zulässt, die, wie oben, keine Welle darstellen. (Auf einen in der "Plasmawellen-Gleichung" enthaltenen (hier aber unwirksamen) Fehler kommen wir in Abschnitt 6 zu sprechen.)

Man kann das erzielte Ergebnis auch anders aussprechen: Die von K. Meyl konstruierten Skalarwellen-Lösungen der Wellengleichung haben die Eigenschaft div E ≠ 0 und bestehen deshalb die Einsetzprobe in die Maxwell-Gleichungen nicht, bei der div E = 0 verlangt wird.

4. Skalarwellen bei Ladungsdichte ρ≠ 0?

Wir wollen uns jetzt dem Zwang der Bedingung div E = 0 entziehen, indem wir

(2.2 b')                                                           ε div E= ρ

mit Ladungsdichte ρ≠0 zulassen an Stelle der homogenen Maxwell-Gleichung (2.2 b).

Wegen der in Abschnitt 2 zitierten Warnung von F. Hund ([5], S.241 f.), gehen wir von den durch (2.2 b') modifizierten Maxwell-Gleichungen (2.2-3) aus. Vorhandene Ladungen können sich bewegen und erzeugen dadurch eine Stromdichte j, die ihrerseits wieder einen Beitrag zur Rotation des Magnetfeldes leistet.  Deshalb muss auch die Maxwell-Gleichung (2.3 a) modifiziert werden zu

(2.3 a')                                                rot H = j + εEt

Als Konsequenz der Longitudinalbedingung rot E = 0 erhält man nach (2.2 a) Ht=0, also ein zeitlich konstantes Magnetfeld H(x). D.h. eine etwaige Skalarwelle wäre eine rein elektrische Welle.

Weiter ergibt Zeitdifferentiation von (2.3 a')

(4.2)                                                   (j + εEt)t = 0,

was die zeitliche Konstanz der Summe j + εEt, also von Ladungs- und dielektrischer Verschiebungsstrom-Dichte, besagt.

Um hier zu einem Ergebnis hinsichtlich möglicher Wellen zu kommen, wollen wir das Ohmsche Gesetz, also eine lineare Beziehung zwischen j und elektrischem Feld E, als gültig annehmen mit konstanter Leitfähigkeit σ> 0,

(4.3)                                                               j = σ E.

Die Kombination der Gleichungen (4.2-3) liefert die lineare gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung

(4.4)                                                   E  Et)t = 0

deren allgemeine Lösung geschlossen hingeschrieben werden kann:

(4.5)                                        E(x,t) = E0(x) + σ-1j0 (x) (1 - e- σ/ε t )

Dabei ist E0der Anfangszustand des elektrischen Feldes für t=0. Ferner ist j0 = ε Et|t=0, der anfangs fließende dielektrische Verschiebungsstrom Dt, der für wachsende t nach (4.5) exponentiell abklingt,

(4.6)                                                   Dt = εEt = j0 e- σ/ε t.

Die Gleichung (4.5) beschreibt einen exponentiellen Anpassungsvorgang des Feldes E von dem Anfangszustand E0 zu dem nach Abklingen der Verschiebungsströme (für große t) eintretenden Endzustand E0-1j0. Von einem Schwingungsvorgang von E kann keine Rede sein:

Auch die Zulassung beweglicher Ladungsdichte ermöglicht keine Skalarwellen.

Der tiefere Grund für die Nichtexistenz von Skalarwellen unter den Bedingungen der Abschnitte 3 und 4 besteht darin, dass die Longitudinalbedingung rot E = 0 eine zu starke Einschränkung für die Lösungen der Maxwell-Gleichungen bedeutet, weil zunächst Schwingungsvorgänge des Magnetfeldes durch (2.2 a) mit  rot E = 0  direkt unterdrückt werden. Aber die Maxwell-Gleichung (2.3 a') ermöglicht dann bei zeitlich konstanter linker Seite rot H für das rechts vorkommende elektrische Feld E keine Schwingungslösung mehr.

Zusatz K. Meyl hat nach Dualisierung der Maxwell-Gleichungen eine sog. Fundamentale Feldgleichung aufgestellt, wobei elektrisches und magnetisches Feld beide als quellenfrei vorausgesetzt werden. Die Quellenfreiheit des elektrischen Feldes widerspricht allerdings der in Meyls Bild 2 aus [1] für Skalarwellen gemachten Voraussetzung div E≠0. Dennoch entsteht die Frage, ob die Dualisierung der Maxwell-Gleichungen zur Existenz von Skalarwellen verhelfen kann. Diese Frage wird in [9] unabhängig von der Frage der Quellen von E negativ beantwortet: Auch die Dualisierung der Maxwell-Gleichungen ermöglicht keine Skalarwellen.

5. Überlichtschnelle Lösungen der Wellengleichung?

Unter Nr. 4 des Einleitungsteils von [1] kündigt K. Meyl die

"Übertragung skalarer Wellen mit 1,5 facher Lichtgeschwindigkeit!"

an. Nun ist diese Aussage nach dem vorangehenden Abschnitten obsolet: Weil es keine skalaren Wellen gibt, kann es natürlich erst recht nicht solche mit Überlichtgeschwindigkeit geben.

Dennoch ist es eine interessante Frage, ob die Wellengleichung

(5.1)                                        ΔE = c-2 Ett                 (mit der Lichtgeschwindigkeit c).

Lösungen besitzen kann, die sich mit Überlichtgeschwindigkeit ausbreiten. Dazu muss man wissen, dass es für Wellen verschiedene Geschwindigkeitsbegriffe gibt, z.B. die Phasengeschwindigkeit. Es ist eine Trivialität, dass man durch Überlagerung von Sinuswellen fast gleicher Frequenz Wellen mit beliebigen Überlicht-Phasengeschwindigkeiten erzeugen kann. Die harte Aussage der Mathematik zur Wellengleichung bezieht sich jedoch auf die Signalgeschwindigkeit. Sie lautet:

Die Wellengleichung (5.1) besitzt keine Lösungen mit Signalgeschwindigkeit > c.

Wann immer jemand Wirkungen oder Partikel (etwa die sagenhaften Tachionen) mit Signalgeschwindigkeit > c entdecken sollte:

Diese Wirkungen können nicht durch die Ausbreitung von Lösungen der Wellengleichung verursacht sein. Das, und nicht mehr, sagt die Mathematik. Wenn K. Meyl also die

  "Übertragung skalarer Wellen mit 1,5 facher Lichtgeschwindigkeit!"

ankündigt, so mag dahinter stecken, was da will, nicht aber Lösungen der Wellengleichung mit Signalgeschwindigkeit > c.

Die Mathematik verbietet nicht Tachionen generell, sondern nur solche, die der Wellengleichung genügen.

Es bleibt zu erklären,  was  unter  Signalgeschwindigkeit   zu   verstehen  ist:  

Unter  einem E-Signal verstehen wir ein E-Feld, das zur Anfangszeit t=0 außerhalb einer Kugel vom Radius R0>0 identisch Null ist. Die Aussage der Mathematik für E-Signal-Lösungen der Wellengleichung besagt dann, dass für t>0 der Anfangszustand E=0 noch immer außerhalb der (konzentrischen) Kugel vom Radius R0+ct erhalten geblieben ist. Das E-Signal hat für t>0 (höchstens) die Kugel vom Radius R0+ct erfüllt, der Signal-Kugelradius hat sich mit der Signal-Geschwindigkeit c vergrößert.

Der Beweis ist ein altbekanntes Resultat aus der Theorie der Partiellen Differentialgleichungen, der zwar im Prinzip elementar, aber in der Durchführung doch ein wenig verzwickt ist. Der Leser wird dazu etwa auf [6], S.379 ff., verwiesen. Der Beweis benutzt den Gaußschen Integralsatz. Es gibt gut verständliche Beweise für den räumlich eindimensionalen Fall.


6. Eine inhomogene Wellengleichung bei K. Meyl

Die gerade besprochene Aussage von der Unmöglichkeit einer Signalgeschwindigkeit > c bezieht sich auf die homogene Wellengleichung. Für die inhomogene Wellengleichung ist keine so einfache Aussage möglich, weil die Inhomogenität, die "rechte Seite", Überlichtgeschwindigkeit "importieren" könnte.

In Bild 2 von [1] und [2] (s. unseren Abschnitt 3) steht rechts neben "Plasmawelle" eine inhomogene Wellengleichung, auf deren Inhomogenität im Begleittext auch ausdrücklich hingewiesen wird. Diese Inhomogenität ist fehlerhaft: In der Gleichung fehlt an der bei uns mit einem roten Pfeil markierten Stelle ein Gleichheitszeichen, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigen kann. Nach Korrektur verbleibt die homogene Wellengleichung für φ, der Ausdruck -ρ/ε ist mit Δφ identisch. Aber wie in den früheren Abschnitten erklärt: Diese Gleichung ist ohnehin obsolet.

Literatur

[1]       K. Meyl, Longitudinalwellen-Experiment nach Nikola Tesla,

http://www.k-meyl.de/Aufsatze/Skalarwellen/skalarwellen.html

[2]       K. Meyl, Scalar Waves: Theory and Experiments, Journal of Scientific Exploration, Vol.15, No.2, pp. 199-205, 2001

[3]       A. Sommerfeld, Mechanik der deformierbaren Medien, Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig, 1949

[4]       G. Joos, Lehrbuch der Theoretischen Physik, 15. Auflage, AULA-Verlag, 1989

[5]       F. Hund, Theorie der Elektrizität und des Magnetismus, Bibliographisches Institut Leipzig, 1947

[6]       R. Courant - D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik II, 2. Auflage, Springer-Verlag, 1937/1968

[7]       G.W. Bruhn, On the Existence of K. Meyl’s Scalar Waves, Journal of Scientific Exploration, Vol.15, No.2, pp. 206-210, 2001

[8]       G.W. Bruhn, Existieren K. Meyls Skalarwellen ?

http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/S_W.HTM

[9]       G.W. Bruhn, K. Meyls Fundamentale Feldgleichung,

http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/Fundamentale_Feldgleichung.htm

[10]       Experimental-Berichte zu Meyls Skalarwellen:

    http://www.gravitation.org//start/Versuche/durchgefuhrt/Meyl1/body_meyl1.html

und

http://www.gravitation.org//start/Versuche/durchgefuhrt/Meyl2/body_meyl2.html