Das Verhalten der Lösungen von Meyls Fundamentaler Feldgleichung

von Gerhard W. Bruhn, Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt

Die Physik kennt bisher keine experimentellen Befunde, die für die Existenz magnetischer Monopole oder für die von K. Meyl  vorgenommenen Dualisierungen der Maxwell-Gleichungen sprechen. Auch hat K. Meyl bisher trotz gegenteiliger Behauptungen keine experimentellen Beweise für die Existenz seiner "hydrotischen" Wirbel vorgelegt. Dies ist umso erstaunlicher, als man ja auf der elektrischen Seite beim Durchflutungsgesetz vorgeführt bekommt, wie ein duales Experiment, das die "hydrotische" Erweiterung des Induktionsgesetzes ( Tafel 5.1 : (12) in [2]) bestätigt, aussehen müsste: Analog zu einem  fließenden elektrischen Strom hätte man einen magnetischen Strom ausfindig zu machen, der nach Meyls Gleichung (12) ein zirkulierendes elektrisches Feld erzeugt. Aber wo sind Generatoren für magnetische Ströme zu finden? Zwischen den Polen eines Permanentmagneten z.B. fließt kein entladender Magnetstrom, so dass der Nachweis eines zirkulären elektrischen Feldes an dem Fehlen eines Magnetstromes, mehr noch, an den bisher noch nicht gefundenen magnetischen Monopolen scheitert, aus denen ein magnetischer Strom ja bestehen müsste.

Trotz dieses experimentellen Defizits ist es natürlich legitim, über die Konsequenzen der Meylschen Dualisierung der Maxwell-Gleichungen nachzudenken. K. Meyl leitet daraus seine Fundamentale Feldgleichung (FFG) her ( Tafel 5.1 in [2]).  Wir werden die Lösungseigenschaften der FFG im folgenden untersuchen und dabei folgende Ergebnisse erzielen, welche in eklatantem Widerspruch zu Behauptungen von K. Meyl stehen:

            Alle Wellenlösungen der FFG schwingen transversal. Meyls Dualisierung der Maxwellschen Gleichungen lässt keine longitudinalen Wellen, keine Skalarwellen, zu.

             Ebene Wellenlösungen der FFG bewegen sich mit einer Phasengeschwindigkeit c' unterhalb der Lichtgeschwindigkeit. Überlichtschnelle Wellenlösungen der FFG können nicht existieren, was im Fall ebener Lösungen konkret nachgerechnet werden kann, während man im allgemeinen Fall auf einen bekannten Satz aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen zurückgreifen muss.

             Für alle ebenen Wellenlösungen der FFG gibt es eine feste, frequenzunabhängige, Schranke für das Durchdringungsvermögen. Das sagenhafte Durchdringungsvermögen der FFG-Wellen gehört ins Reich der Fabeln.

 

1. Die Transversalität der Meylschen Wellen

K. Meyl leitet seine Fundamentale Feldgleichung (FFG) in [2] aus den von ihm "dualisierten" Maxwell-Gleichungen her, die wir hier für Bezugnahmen benötigen. Diese Original-Herleitung liefert uns unmittelbar ein erstes wichtiges Ergebnis:

Die FFG kann nach Meyls Tafel 5.1 in [2], Gleichung (7*), nur mit der Bedingung  div E = 0 hergeleitet werden. Nach Meyls eigener Herleitung und der Definition transversaler Wellen in Meyls Bild 2 in [1], also nach der für transversale Wellen oben in diesem Bild ausgewiesenen Gleichung div E = 0 gelangt man sofort zu der wichtigen Lösungseigenschaft

Die Lösungen der FFG sind nach Meyls Herleitung transversale Wellen.

Die von Meyl in [1] betrachteten Skalar- oder Longitudinalwellen sind für die FFG, wie in [3] ausführlich gezeigt wurde, nicht möglich.

2. Ebene Wellenlösungen der FFG

Wir schreiben die FFG in der symmetrischen Form

(1)                               c2 Δ E = (Dt + λ1) (Dt + λ2) E mit λk> 0.

mit der partiellen Zeitableitung Dt und der ohmschen Dämpfungskonstanten λ1= 1/τ1 = σ/ε sowie der von Meyl erfundenen (aber nicht experimentell belegten) "hydrotischen" Dämpfungskonstanten λ2= 1/τ2 (vgl. Tafel 5.1 in [2]: (12)). Diese formale Symmetrie ist eine Folge der Meylschen Dualisierung der Maxwell-Gleichungen.

Man entnimmt bereits aus (1) (Tafel 5.1 in [2]: (15)), dass beide Dämpfungskonstanten in gleicher Weise in die FFG eingehen, d.h. das Verhalten der Lösungen beeinflussen. Das wird sich im folgenden an dem Einfluss auf ebene Wellen genauer bestätigen.

Betrachtet wird eine in (positiver) x-Richtung fortschreitende ebene Welle der Kreisfrequenz ω >0:

(2)                                                      E(x,t) = E0(x) eiωt.

Einsetzen in die Gleichung (1) ergibt wegen Dt eiωt = iω eiωt nach Herauskürzen von eiωt die gewöhnliche lineare Differentialgleichung

(3)                               c2 E0" = (iω + λ1) (iω + λ2) E0 = (λ1 + iω) (λ2 + iω) E0,

wobei  " die zweite Ableitung nach der x-Koordinate (in Fortschreitungsrichtung der Welle) bezeichnet. Die Lösungen sind proportional zu eλx/c, wobei λ Lösung der zugehörigen charakteristischen Gleichung

(4)                                                      λ2 = c2 k2 = 1 + )2 + )

ist. Weil die Faktoren λ1 + und λ2 + iω beide im ersten Quadranten der komplexen Ebene liegen, hat (4) zwei entgegengesetzt gleiche Lösungen + λ= + ω(p+iq) mit p,q > 0. Da wir eine in positiver x-Richtung fortschreitende Welle suchen, benötigen wir die Lösung λ mit negativem Imaginärteil –ωq, also λ = –ωp+iq)  mit q>0. Die Lösung hat dann die Form

(2')                                          E(x,t) = E+ eiωt eλx/c = E+ eiω(t–qx/c) e–ωpx/c

Der Faktor e–ωpx/c zeigt wegen p>0 eine Dämpfung der Amplitude in Fortschreitungsrichtung der Welle an, die in Abschnitt 4 genauer diskutiert werden soll. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) der Welle ergibt sich aus t-qx/c = const zu c' = c/q.

3. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von ebenen Wellen

Wir werden jetzt die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c' abschätzen und zeigen,  dass c' stets unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liegt. Dazu haben wir den Imaginärteil ωq der Lösung λ = –ω(p+iq) der charakteristischen Gleichung (4) genauer zu diskutieren: Einsetzen von λ ergibt, getrennt nach Real- und Imaginärteil,

(5)                                                      p2 – q2  = –1 + λ1λ2/ω2,          

(6)                                                             pq = ½ (λ1 + λ2)/ω

Multipliziert man die erste Gleichung mit q2 und ersetzt p2q2 mit Hilfe der zweiten Gleichung, so ergibt sich

q4 + (–1 + λ1λ2/ω2) q2 – [½ (λ1 + λ2/ω]2 = 0

Wir wollen q >1 zeigen und interessieren uns deshalb für r = q2 –1. Die Substitution q2 = r+1 überführt die vorige Gleichung in

r2 + (1 + λ1λ2/ω2) r – ¼ (λ1 –λ2)22 = 0.

Da das konstante Glied (= dem Produkt der beiden Nullstellen) negativ ist, muss eine Nullstelle r+>0 existieren, mithin haben wir  statt q+>0 sogar

q+ = (1 + r+)½ > 1.

Damit ergibt sich für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit: c' = c/q+ < c.

Die (Phasen-) Geschwindigkeit der Welle liegt demnach stets unter der Lichtgeschwindigkeit.

Auch für nichtebene Wellenlösungen sind Überlichtgeschwindigkeiten aus mathematischen Gründen (der Theorie der Telegraphen/ Klein-Gordon-Gleichung) nicht möglich.

4. Dämpfung und Eindringtiefe

Zur Abschätzung der Dämpfung und Eindringtiefe der ebenen Welle (2) bestimmen wir p in ähnlicher Weise wie zuvor q: Nach Multiplikation von (5) mit ω4p2 kann p2q2 mit (6) ersetzt werden, und man erhält die biquadratische Gleichung

(7)                               (ωp)4 + (ω2– λ1λ2) (ωp)2 – [½(λ1+ λ2)]2ω2 = 0,

die man unter Einführung von geometrischem und arithmetischen Mittel von λ1 und λ2

λg = (λ1λ2)½     bzw.     λa = ½(λ1+λ2)

und der Abkürzung a = a(ω) = ω2–λ1λ2 = ω2– λg2 noch etwas übersichtlicher schreiben kann:

(7')                                                      (ωp)4 + a (ωp)2 – ω2λa2 = 0

Die Lösungen dieser biquadratischen Gleichung ergeben sich aus

(8)                                                      (ωp)2 = ½ [–a + (a2 + 4ω2λa2)½].

Weil (ωp)2>0 sein muss und stets |[a2 + 4λa2]½| > +a gilt, kann man in (8) nur das Pluszeichen berücksichtigen, also

(8')                              (ωp)2 = ½ [(a2 + 4ω2λa2)½ –a],            ωp= {½ [(a2 + 4ω2λa2)½ –a]}½.

Interessant ist nun eine Abschätzung der Eindringtiefe der Welle: Die Eindringtiefe der Welle ist die Strecke δ in x-Richtung, längs der die Amplitude um 1/e fällt, d.h. δ kann nach (2') aus ωpδ/c =1 ermittelt werden zu δ = c/ωp. Man erhält

(9)                                  (ωp)–2 = 2/ [(a2 + 4ω2λa2)½ –a] =  [(a2 + 4ω2λa2)½ + a] / [2ω2λa2]

=  [(a2 + 4ω2λa2)½ + a] / [2ω2λa2].

Zur Diskussion dieses Ausdrucks substituieren wir a(ω)/ω2 = 1 – λg22= 1 λg2 s mit s =1/ω2 und erhalten

2λa2 p)–2 = [(a/ω2)2 + 4λa2/ω2]½ + a/ω2 = [(1 λg2s)2 + 4λa2s]½ + 1 λg2 s

Die rechts stehende Funktion von s bezeichnen wir mit f(s). Sie hat die Ableitung

f '(s) = {[(λg2 s–1) λg2 + 2λa2] – λg2[(1 λg2s)2 + 4λa2s]½}/ [(1 λg2s)2 + 4λa2s] ½.

Weil der Nenner positiv ist, kann das Vorzeichen von f'(s) an dem des Zählers abgelesen werden. Aber der Zähler ist positiv, denn betrachtet man die Differenz der Quadrate der beiden im Zähler stehenden Ausdrücke, so erhält man

[(λg2s–1) λg2 + 2λa2]2λg4 [(1 λg2s)2 + 4λa2s]

= (λg2s–1)2 λg4λg4 (1 λg2s)2 + 4 {[(λg2s–1) λg2 λa2 λg4 λa2s + λa4}

=                      0                                  + 4 {(λg2s–1) λg2 λa2 λg4 λa2s + λa4}

=                      0                                  + 4 {λg2s λg2 λa2 λg4 λa2s} + 4 { (–1) λg2 λa2 + λa4}

=                      0                                + 0                              – 4 λa2(λg2 –λa2).

Der letzte Ausdruck ist > 0, weil das arithmetische Mittel nichtnegativer Zahlen stets größer oder gleich ihrem geometrischen Mittel ist: λg < λa. Mithin ist die Ableitung f'(s) > 0, was für die Funktion f(1/ω2) nach der Kettenregel

d/dω f(1/ω2) = f' · (–2)/ω3 < 0

nach sich zieht. Daraus folgt, dass f(1/ω2) mit wachsendem ω fällt. Somit können wir die Funktion f(1/ω2) für alle ω>0 durch ihren Grenzwerte für ω →0 bzw. ω →∞ nach oben und unten abschätzen.

Obere Abschätzung

Für ω→0 hat man a → –λg2 < 0. Das ermöglicht die Umformung

f(1/ω2) = [(a/ω2)2 + 4λa22]½ + a/ω2 = |a|/ω²·{[1 + 4λa2ω2]½ – 1}.

Erweitern des Bruches mit {[1 + 4λa2ω2]½ + 1} ergibt

f(1/ω2) = |a|/ω²·{[1 + 4λa2ω2] – 1}/{[1 + 4λa2ω2]½ + 1}. = 4λa2/{|a|[1 + 4λa2ω2]½ + 1]}.

Hier kann der Grenzübergang ω→0 durch Einsetzen von ω=0 durchgeführt werden. Mit a(0)= –λg2 erhält man

f(1/ω2) <a2g2 oder (ωp)–2 = f(1/ω2)/(2λa2) < 1/λg2.

Untere Abschätzung

f(1/ω2) > limω→∞ f(1/ω2) = lims→0 f(s) = f(0) = 2.

ergibt

(ωp)-2 = f(1/ω2)/(2λa2) > f(0)/(2λa2) = 1/λa2.

Aus δ = c/ωp ergibt sich für alle Frequenzen ω das folgende wichtige Ergebnis:

Die Eindringtiefe δ von ebenen FFG-Wellen ist für alle Frequenzen gemeinsam
nach oben und unten beschränkt durch die Zahlen ca bzw. cg:
ca ≤ δ ≤ cg
.

Um Missverständnissen vorzubeugen, wiederholen wir noch einmal die Definition der Eindringtiefe:

Die Eindringtiefe der Welle ist die Strecke δ in Fortpflanzungsrichtung, längs der die Wellenamplitude um 1/e, d.h. auf ca. 37% des Ausgangswertes, gefallen ist. In doppelter Eindringtiefe liegt die Amplitude dann z.B. bei ca. 13,5%  des Ausgangswertes. Die Wellenenergie ist proportional zum Quadrat der Feldstärke E und wird deshalb schneller aufgezehrt: In der Tiefe δ ist sie bereits auf 13,5% gesunken, in der Tiefe 2δ hat man nur noch weniger als 2% der Ausgangsenergie.

Es sei hier noch angemerkt, dass die Formeln im Anschluss an Gleichung (9) die Berechnung der Eindringtiefe für jede Frequenz ω gestatten, wenn die Dämpfungskonstanten λ1und λ2 bekannt sind. Allerdings bleibt die atomare Struktur der Materie in diesem primitiven Modell außer Betracht, so dass der Einfluss durch atomare Resonanzen nicht berücksichtigt werden kann. Ansätze dazu finden sich z.B. in [4].

 

Literatur

[1]       K. Meyl, K. Meyl, Longitudinalwellen-Experiment nach Nikola Tesla,

http://www.k-meyl.de/Aufsatze/Skalarwellen/skalarwellen.html

[2]       K. Meyl, Elektromagnetische Umweltverträglichkeit Bd.1, Indel-Verlag 1997, S. 76 f.

[3]       G.W. Bruhn, K. Meyls Fundamentale Feldgleichung

http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/Fundamentale_Feldgleichung.htm

[4]       W. Demtröder, Experimentalphysik 2, Elektrizität und Optik, Springer 1995

Unterhaltsame Fabelgeschichten zum Thema Skalarwellen

findet man in

[5]          http://www.rossaint.de/News/Seminare/Artikel/Artikel9/A9Teil2/a9teil2.html

[6]          http://www.skasys.de/

[7]          http://www.skm-electronic.de/skm1.htm

Eine andere lustige Geschichte, womöglich noch besser als alle Skalarwellen-Fabeln zusammen, finden Sie unter

[8]          http://www.plocher.de/index.php?Group=ueberuns&Content=Funktionsweise

wenn Sie dort mit dem Startknopf die Animation in Gang setzen. Das ist so gut, dass es sogar den Stadtrat einer deutschen Großstadt, die immerhin einen berühmten Physiker hervorgebracht hat, überzeugt hat. Wie glücklich wäre der Stadtrat einer anderen mittelalterlichen Stadt gewesen, wenn er, statt Licht in Kiepen in sein fensterloses Rathaus bringen zu lassen, stattdessen einfach der immer nötigen Frischluft die Information "Licht" hätte aufmodulieren lassen können. Aber das ist eben der Unterschied zum Mittelalter:

Uns Heutigen stehen solche pfiffigen Firmen jederzeit zu Diensten.