Widerlegung einer Behauptung von E. Friebe und K. Meyl

von Gerhard W. Bruhn, Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt

K. Meyl [2] wie schon vor ihm E. Friebe [1] vertreten die Ansicht, die bei R.W. Pohl [3] gefundenen Gleichungen

(1)                                                       H = εo E × u

(2)                                                       E = μo u × H

seien die eigentlichen Grundgleichungen der Elektrodynamik an Stelle der Maxwell-Gleichungen

(3)                                                       εo  Et  =    rot H

            (4)                                                       μo  Ht = - rot E

Sie behaupten weiter, dass sich aus den Friebe-Meyl-Gleichungen (1),(2) die Maxwell-Gleichungen "durch Rotor-Operation" herleiten ließen. E. Friebe wie K. Meyl versuchen sich sogar an einem - allerdings fehlerhaften - Beweis (s. [2] und [4], (16)-(17)) s. Zusatz unten.

Demgegenüber wird hier gezeigt:

1) Die Friebe-Meyl-Gleichungen (1),(2) sind als Grundgleichungen der Elektrodynamik untauglich, weil sie

a) nicht dem Superpositionsprinzip der EM-Wellen genügen,

b) es eine Vielzahl von Maxwell-Lösungen gibt, die den Friebe-Meyl-Gleichungen nicht genügen, z.B. alle stehenden Wellen.

2) Umgekehrt besitzen die Friebe-Meyl-Gleichungen (1),(2) viele Lösungen, die den Maxwell-Gleichungen nicht genügen. Daher können die Maxwell-Gleichungen weder "durch Rotorbildung" noch auf andere Weise aus den Gleichungen (1),(2) hergeleitet werden.

Vorbemerkung . Für die Verwendung der Gleichungen (1),(2) gibt es eine notwendige Bedingung: Es muss

(5)                                           |u| = c  mit der Abkürzung c = (εoμo)–1/2

gewählt werden. Denn eliminiert man mit (1) die Größe H in (2), so folgt

E = εoμo u × (E × u).

Die Anwendung der Auflösungsregel für das doppelte Vektorprodukt

a × (b × c) = (a . c) b – (a . b) c

liefert

E = εoμo |u|2 E,

was für E 0 die Bedingung (5) nach sich zieht. Analog kann im Fall H 0 verfahren, indem man E eliminiert.

K. Meyl ist in [2] die Notwendigkeit der Bedingung (5) entgangen. Er glaubt irrtümlich, über |u| frei verfügen zu können.

Beweis Teil 1. Gegen (1),(2) als Grundgleichungen ist sofort einzuwenden, dass sie im Gegensatz zu den Maxwell-Gleichungen (3),(4) das Superpositionsprinzip der elektromagnetischen Wellen nicht erfüllen. So ist zwar mit beliebigem konstantem Eo senkrecht auf u durch

E+ = Eo exp(i u . (x + ut) 2π / cλ),      H+ = εo Eo × u exp(i u . (x + ut) 2π / cλ)

eine ebene elektromagnetische Welle der Wellenlänge λ gegeben, die sich mit der Geschwindigkeit -u durch den Raum bewegt und die Gleichungen (1),(2) erfüllt. Doch schon die gegenläufige elektromagnetische Welle

  E- = Eo exp(-i u . (x - ut) 2π / cλ),      H- = - εo Eo × u exp(-i u . (x - ut) 2π / cλ)

erfüllt die Gleichungen (1),(2) nicht mehr, oder nur noch, wenn man dort zuvor u durch -u ersetzt. Beide Wellen erfüllen aber die Maxwell-Gleichungen (3),(4). Der Leser möge all dies durch Nachrechnen überprüfen. Hoffnungslos wird aber die Situation für (1),(2), wenn man die Überlagerung der beiden gegenläufigen Wellen, die stehende Welle

E = E++E-,            H = H++H-

betrachtet. Diese Welle erfüllt immer noch die Maxwell-Gleichungen (3),(4), für keine Wahl von u jedoch die Gleichungen (1),(2).

Beweis Teil 2. Eine Herleitung der Maxwell-Gleichungen aus den Friebe-Meyl-Gleichungen "durch Rotor-Operation" erfordert neben (5) die von K. Meyl und E. Friebe nicht geforderte Zusatzvoraussetzung, dass E und H allein von der Kombination x+ut  abhängen. Dies bedeutet anschaulich die Annahme, dass die durch E,H gegebene "Welle" sich mit der Geschwindigkeit -u durch den Raum bewegt.

Ohne diese Zusatzvoraussetzung ist eine Herleitung unmöglich, weil die Gleichungen (1),(2) dann Lösungen besitzen, die nicht Lösungen der Maxwell-Gleichungen (3),(4) sind:

Der Vektor u wird speziell in Richtung e1 der ersten Koordinatenachse gewählt, u = c e1, ferner H = H2 e2 mit beliebiger skalarer Funktion H2 und E gemäß (2) als E = μo u × H, somit

E = μo c e1 × H2 e2 = μo c H2 e3 .

Der Leser möge sich durch Nachrechnen davon überzeugen, dass unsere Wahl

(6)                                           E = μo c H2 e3 ,  H = H2 e2

bei willkürlich wählbarer Funktion H2 wirklich immer eine Lösung von (1),(2) liefert.

Zu der angekündigten Konstruktion von Nicht-Lösungen der Maxwell-Gleichungen verfügen wir jetzt in (6) über die Funktion H2, wobei wir einen aus Dimensionsgründen eigentlich erforderlichen Maßstabsfaktor der Einfachheit halber unterdrücken:

Wahl 1            H2 = t, daher E = μo c t e3 ,  H = t e2

Man sieht, dass Et = μo c e3, also εo Et = c-1 e30 herauskommt, aber offenbar rot H = 0 wegen Ortsunabhängigkeit von H. Die erste Maxwell-Gleichung wird demnach von unserer Wahl 1 verletzt.

Wahl 2            H2 = x1, daher E = μo c x1e3 ,  H = x1 e2.

Offenbar ist jetzt Et = 0 wegen Zeitunabhängigkeit von E, aber rot H = e3 0. Wiederum ist schon die erste Maxwell-Gleichung bei unserer Wahl 2 verletzt.

In dieser Weise lassen sich viele weitere Beispiele konstruieren, welche die Friebe-Meyl-Gleichungen (1),(2), nicht aber die Maxwell-Gleichungen (3),(4) erfüllen.


Quellen

[1]       E. Friebe, Die Vektorprodukte der MAXWELL’schen Elektrodynamik (Teil A)

http://ourworld.compuserve.com/homepages/Ekkehard_Friebe/MAXWEL-A.htm

[2]       K. Meyl, Skalarwellen I, NET-Journal 2002/7-8, s. auch in

http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/NJ-Orig.htm

[3]       R.W. Pohl,  Elektrizitätslehre,  Springer Verlag,  20. Auflage (1967)

 

Zusatz

E. Friebe ([4], (15),(16)) wie K. Meyl halten folgende "Kettenregel" für gültig:

(F-M)                                                  ∂F/∂x ∂x/∂t = ∂F/∂t

Meyl gibt als Quelle an:

Bronstein: Taschenbuch der Mathematik, 4. Neuauflage, Thun 1999, S. 652

Die hier betrachteten Felder hängen von x,t als unabhängigen Variablen ab.

Was ist dann ∂x/∂t?

Partielle Ableitung nach t, ∂/∂t, bedeutet Ableitung nach der Variablen t bei Festhaltung der übrigen Variablen, hier also Festhaltung von x. Somit ist

∂x/∂t = 0

Mithin steht in der "Friebe-Meyl-Regel" (F-M)

∂F/∂x · 0 = ∂F/∂t,

somit ergäbe sich das offensichtlich falsche Ergebnis ∂F/∂t = 0.

Die Regel (F-M) muss also falsch sein.

 

Was wäre denn eine richtige Regel?

Man kann das Feld F(x,t) längs einer "Bahn" betrachten, bei der also die zuvor unabhängige Variable x an t gebunden wird:

x = φ(t),

z.B. x = a sin ωt für eine periodisch mit der Kreisfrequenz ω hin und her schwingende Masse. Während in F(x,t) der Ort x noch unabhängig von t gewählt werden kann, gibt

F(φ(t),t)

den Wert von F längs der Bahn x = φ(t) an. F(φ(t),t) hängt nur noch von t ab.

Wie stark ändert sich F längs der Bahn x = φ(t)? Darüber gibt die Bahn-Ableitung

d/dt F(φ(t),t)

Auskunft. Es gibt nun eine "mehrdimensionale" Kettenregel, welche gestattet, die Ableitung d/dt F(φ(t),t) durch die partiellen Ableitungen   ∂F/∂x und ∂F/∂t auszudrücken:

d/dt F(φ(t),t) = [∂F/∂t + dφ/dt ∂F/∂x]x=φ(t)

Die Bahnableitung ist die Summe von Änderung bei festem Ort ∂F/∂t plus der durch die Ortveränderung dφ/dt entstehenden Änderung von F, dφ/dt ∂F/∂x. Damit hier wirklich Gleichheit entsteht muss man natürlich die beiden Summenden längs der Bahn bilden, also nachträglich wieder x durch φ(t) ersetzen, was durch die Indizierung [...]x=φ(t) zum Ausdruck gebracht wird.

Aus dieser Sicht kann man fragen, ob denn die (F-M)-Regel vielleicht in der Form

(F-M)'                                     ∂F/∂x dφ/dt = ∂F/∂t    längs x = φ(t)

richtig wäre. Die Beispiele F = x und F = vt zeigen, dass auch dieser Versuch fehlschlägt, aber noch mehr:

Für F(x,t) = x + vt mit konstantem v würde (F-M)' richtig werden, wenn man dφ/dt = v hätte, also für alle Bahnen mit konstanter Geschwindigkeit v.

Noch allgemeiner ist (F-M)' erfüllt für alle Felder der Form F(x+vt), denn man erhält bei Anwendung der eindimensionalen Kettenregel auf F(u), u = x+vt

∂F/∂x = F'(y)            und             ∂F/∂t = v F'(y)             mit             y = x+vt.

Felder der Form   F(x+vt)   sind konstant längs der Bahnen  x = – vt + const,  d.h. die Regel (F-M)'      gilt für alle Felder, bei denen der Zustand längs der einzelnen Bahnen x = – vt + const konstant bleibt.