Faraday und Maxwell

von G.W. Bruhn, Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt

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K. Meyl führt in seiner "Objektivitätstheorie" [1] (Kommentare dazu s. [2]) die Lorentz-Kraft und das Dual von (1)

E  =  v × B   1)                                                           (1)

                                                                     H  =  - v × D 2)                                                           (2)

auf M. Faraday 3) zurück. Er glaubt, "dass Maxwell mit seiner Formulierung des Induktionsgesetzes rot E = - Bt  das ursprüngliche, von Faraday entdeckte Gesetz (1) eingeschränkt hat und daher die Maxwellgleichungen nur einen Sonderfall der beiden Transformationsgleichungen (1) und (2) beschreiben."

1) Diese Formel für die von einem Magnetfeld auf eine bewegte elektrische Ladung ausgeübte Kraft wurde 1895 von H.A. Lorentz (1853-1928) veröffentlicht und wird heute als Lorentz-Kraft bezeichnet. Die zwischen Magnetfeld und Strom, also nach späterer Erkenntnis bewegten elektrischen Ladungen,  wirksamen Kräfte wurden schon viel früher von A. M. Ampère (1775-1836) beschrieben.

2) H.A. Rowland (1848-1901), Physik-Professor in Baltimore, wies 1875  nach, dass ein bewegtes elektrisches Feld ein magnetisches Feld erzeugt. Dass ein Strom, also nach späterer Erkenntnis bewegte elektrische Ladungen, ein Magnetfeld erzeugt, ist bereits Inhalt des Biot-Savartschen Gesetzes von 1820.

3) Das auf  M. Faraday (1791-1867) zurückgehende Induktionsgesetz von 1832 ist im Gegensatz zu den oben erwähnten Gesetzen instationärer Natur: Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch ein Flächenstück induziert entlang seines Randes ein elektrisches Feld.

Wir werden im folgenden sehen: Bei Gültigkeit der beiden Transformationsgesetze (1) und (2) gelten stets auch die Maxwell-Gleichungen.

Seien in dem ruhenden System S die Felder B = μH, D = εE wirksam. Dann erscheinen in dem mit der Geschwindigkeit v gegen S bewegten System S' zusätzlich die durch die Gln. (1), (2) definierten Kräfte. D.h. zwischen den in S' und S wirksamen Feldern  (E', H') und  (E, H) bestehen die Transformationsgleichungen

    E'   = E + Ezus  =  E +  v × μ H                                         (3)

und

    H'  = H + Hzus  =  H  - v × ε E.                                        (4)

 

Man kann nun die Sicht umkehren: Von S' aus gesehen bewegt sich S mit der Geschwindigkeit -v. Also, wenn man in dem gegen S' mit -v bewegten System S  die Kräfte E,H misst, müssten diese wiederum nach den Gleichungen (3,4) berechnet werden können, wenn man dabei noch v durch -v ersetzt. Es müsste also gelten

E  =  E' - v × μ  H'                                                   (3')

und

H  =  H' + v × ε E'                                                    (4')

Mit dieser "Auflösung" der Gleichungen (3,4) kann man die "Einsetzprobe" machen, also (3',4') in (3,4) einsetzen. Dabei ergibt sich

E'  = E' - v × μ  H' +  v × μ  (H' + v × ε  E') = E' +  v × μ  (v × ε  E')

und

H'  = H' + v × ε  E'  - v × ε  (E' - v × μ  H') = H' + v × ε  (v × μ  H')

Die Berücksichtigung der Gleichung εμ = c-2 führt auf

E' = E' +  v/c × (v/c × E')                  und                  H' = H' +  v/c × (v/c × H').

Man sieht, die Einsetzprobe ist nicht ganz  "aufgegangen",  aber  die Fehler sind ~ (v/c)2, also sehr klein, wenn die Relativgeschwindigkeit v klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist. (Bei Schall in Luft hat (v/c)2 die Größenordnung 10-12) Daraus ist zu schließen, dass die Transformationsformeln für "langsame" Relativgeschwindigkeiten v brauchbar, bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit aber noch korrekturbedürftig sind. (Diese Korrektur erfolgt im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie.)         

 

Für das folgende können wir von den Gleichungen (3'),(4') ausgehen. Wir wählen jetzt das System S' so, dass die Felder E',  H' in S' zeitunabhängig sind.

Das geht natürlich nicht global! Aber die Welt lässt sich in endlich viele Teile zerlegen, deren jeder gegen die anderen irgendwelche Relativgeschwindigkeiten hat. Dann kann man zunächst jeden dieser Teile separat betrachten, die Maxwell-Gleichungen wie unten herleiten und am Ende lassen sich, weil die Maxwell-Gleichungen linear sind, alle Teilsysteme wieder zu einem Gesamtsystem zusammensetzen, das dann gleichfalls den Maxwell-Gleichungen genügt.

Für geeignete Teilsysteme S' gelten somit die Gesetze der Elektro- und Magneto-Statik, d.h. man hat

                                                  ε div' E' = ρ    und      rot' E' = 0                                         (5a,b)

sowie                                  

                                                  μ div' H' = 0    und      rot' H' = 0.                                       (5c,d)

 

Dabei bedeuten die Apostrophs an div' und rot', dass diese Operationen bezüglich der in S' gültigen Koordinaten x' auszuführen sind, die mit den x-Koordinaten durch die Galilei-Transformation

                                                       x'  =  x - v t    mit  v = v e

verbunden sind. Es ist klar, dass bei der (für v << c gültigen) Galilei-Transformation

                                                   div' = div, rot' = rot und  ∇' = ∇

gilt (Kettenregel, bei der Lorentztransformation würden hier Faktoren anfallen.)

Komplizierter ist die Transformationsregel für Zeitableitungen der durch

F(x,t) = F'(x',t)  mit x' = x-v t, x = x'+v t

verbundenen Funktionen. Nach Kettenregel erhält man hier:

(v . ∇ F + Ft)(x,t) = F't (x',t).                                      (6a)

Insbesondere gilt bei Zeitunabhängigkeit von F', F' = F'(x’),

(v . ∇ F + Ft)(x,t) = 0.                                                (6b)

 

Es sind jetzt der Reihe nach die Maxwell-Gleichungen (5 a-d) für das System S zu überprüfen:

Das ist sehr leicht für die beiden Divergenz-Gleichungen, wir erhalten mit (3'):

ε div E = ε div [(E' - v × μ H')(x-vt)]= ε div' [E' - v × μ H']

= ρ - ε ∇' . [v × μ H'] = ρ +  μ ε v . [ ∇' × H'] = ρ + μ ε v . 0   = ρ              (5a')

und analog mit (4')

μ div H = μ div [(H' +  v × ε E')(x-vt)] = μ div' [H' +  v × ε E']

= 0  +  μ ∇' . [v × ε E'] = 0  -  μ ε v . (∇' × E'] = 0  +  με v . 0  = 0.                        (5c')

Etwas umständlicher verläuft die Rechnung für die zwei verbliebenen Maxwell-Gleichungen:

Wir rechnen im ruhenden System S die Rotation von E aus: Aus (3') folgt

                       rot E = × E  = ∇' × (E' -  v × μ H')

                                               =   rot' E'  -     ' × (v × μ H')

                                               =      0   -  μ (v ' . H' - v . ' H')  =  0 - μ (v  0  - v . ' H')

Wir haben also das Zwischenergebnis

                                         rot E =  μ v .' H' =  μ v . H'(x-vt).

Weil H' bei konstantem x' = x-vt konstant bleibt, kann hier  v . [H'(x-vt)] nach Regel (6b) durch eine Zeitableitung ersetzt werden:

rot E =  μ v . [H'(x-vt)] = - μ [H'(x-vt)]t.

Aber wegen (4') erhält man

                                                  μ [H'(x-vt)] t = μ {Ht - ε v × [E'(x-vt)]t }

= μ Ht + μ ε v × (v . ∇' E')

= μ Ht + v/c × (v/c . ∇' E')

unter Benutzung von με = c-2 . Man erkennt, dass der Zusatzterm v/c × (v/c . ∇' E') ~ (v/c)2, also ein Term zweiter Ordnung in v/c ist. Unter Vernachlässigung von Termen zweiter Ordnung haben wir mithin

rot E = - μ Ht,                                                                       (5b')

das ist die vorletzte Maxwell-Gleichung, die wir aus den Transformations-Gleichungen hergeleitet haben.

Analog kann man auch die letzte Maxwell-Gleichung in Angriff nehmen: Nach (4') erhält man im ruhenden System S für die Rotation von H,

                                         rot H = × H  = ' × [H' +  v × ε E']

      =   rot' H'  + ∇' × [v × ε E']

      =       0  + ε [ ' . E' v - v . ' E']

      =       0  + ε [     ρ v - v . ' E'],

damit  also mit der Stromdichte j = ρv das Zwischenergebnis

                                                           rot H =  j - ε v . ' E'.

Die Anwendung der Regel (6b) auf v . ' E' = v . [E'(x-vt)] liefert

rot H = j - ε v . [E'(x-vt)] =  j  +  ε [E'(x-vt)]t.

Hier kann nun wieder E' nach (3') ersetzt werden, es folgt

  rot H =  j + ε Et + v × με [H'(x-vt)]t

oder wegen με = c-2  und weil nach Regel (6b) [H'(x-vt)]t = - v . [H'(x-vt)] gilt, folgt schließlich

  rot H =  j + ε Et - v/c × (v/c . [H'(x-vt)]),

das ist bis auf Terme zweiter Ordnung in v/c die letzte Maxwell-Gleichung

rot H =  j + ε Et.                                                        (5d')

 

Schlussbemerkung. Was hier eigentlich gezeigt wurde, war, dass die Maxwell-Gleichungen (5a'-5d') gegen die Galilei-Transformationen bis auf Terme 2.Ordnung in v/c invariant sind, wenn man zu ihrer Transformation die Formeln (1) und (2) verwendet. Dann erhält man, von einem Ruhesystem S’ ausgehend, für jedes dazu bewegte System S die gleiche Form der Maxwell-Gleichungen. Zugleich folgt, weil die Galilei-Transformationen für größere Relativ-Geschwindigkeiten durch die Lorentz-Transformationen ersetzt werden müssen (und jede Lorentz-Transformation sich aus infinitesimalen Galilei-Transformationen durch Integration zusammensetzen lässt), dass die Maxwell-Gleichungen auch gegen die Lorentz-Transformationen invariant sind.

Referenzen

[1]       K. Meyl, Objektivitätstheorie,

http://www.k-meyl.de/Aufsatze/Objektivitatst._1/objektivitatst._1.html

[2]       G. Bruhn, Kommentar zu Meyls Objektivitätstheorie

http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/OBJEKT~1.HTM